Página 132 - Libro de Física de Tercero de Bachillerato

Análisis: Se pide la fuerza neta sobre q₂ debida a q₁ y q₃, usando la ley de Coulomb y suma vectorial.

Datos (de la página): q₁=−20 μC, q₂=+30 μC, q₃=+50 μC; base cuadrada de lado a=60 cm=0.60 m; altura h=120 cm=1.20 m. En la figura, q₁ está en el vértice superior (sobre el centro de la base), y q₂, q₃ están en dos vértices adyacentes de la base.

Paso 1: Distancias geométricas

• Distancia entre vértices adyacentes de la base: r₂₃=a=0.60 m.
• Distancia del vértice superior al vértice de la base (q₁ a q₂): r₁₂=b, donde $$b=\sqrt{h^2+\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2}$$

Como del centro de la base a un vértice hay $$\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}$$, entonces:

$$b=\sqrt{(1.20)^2+\left(\frac{0.60}{\sqrt{2}}\right)^2}=\sqrt{1.44+0.18}=\sqrt{1.62}=1.2728\,\text{m}$$

Paso 2: Magnitudes de las fuerzas por Coulomb (k≈9×10⁹ N·m²/C²)

Fuerza de q₁ sobre q₂ (atractiva, porque signos opuestos):

$$F_{21}=k\frac{|q_2q_1|}{r_{12}^2}=9\times10^9\frac{(30\times10^{-6})(20\times10^{-6})}{(1.2728)^2}$$

$$F_{21}=9\times10^9\frac{600\times10^{-12}}{1.62}=\frac{5.4}{1.62}=3.33\,\text{N}$$

Fuerza de q₃ sobre q₂ (repulsiva, ambos positivos):

$$F_{23}=k\frac{|q_2q_3|}{r_{23}^2}=9\times10^9\frac{(30\times10^{-6})(50\times10^{-6})}{(0.60)^2}$$

$$F_{23}=9\times10^9\frac{1500\times10^{-12}}{0.36}=\frac{13.5}{0.36}=37.5\,\text{N}$$

Paso 3: Componentes (tomando ejes sobre la base)

Elige ejes: x a lo largo del lado desde q₂ hacia q₃, y z vertical hacia arriba. Entonces:

• F₂₃ va en −x (q₃ repele a q₂): $$\vec F_{23}=(-37.5,\,0,\,0)\,\text{N}$$
• F₂₁ apunta desde q₂ hacia q₁. Su proyección horizontal va hacia el centro de la base: componentes iguales en x e y, y componente positiva en z.

Vector dirección de q₂ al centro: magnitud $$\frac{a}{\sqrt2}$$, con componentes $$\left(\frac a2,\frac a2\right)$$. Por tanto, el coseno direccional en x (y también) es:

$$\cos\alpha_x=\frac{(a/2)}{b}=\frac{0.30}{1.2728}=0.2357$$

Y el componente vertical:

$$\cos\alpha_z=\frac{h}{b}=\frac{1.20}{1.2728}=0.9428$$

Así,

$$\vec F_{21}=(F_{21}\cos\alpha_x,\,F_{21}\cos\alpha_y,\,F_{21}\cos\alpha_z)$$

$$\vec F_{21}=(3.33\cdot0.2357,\,3.33\cdot0.2357,\,3.33\cdot0.9428)$$

$$\vec F_{21}=(0.785,\,0.785,\,3.14)\,\text{N}$$

Paso 4: Fuerza neta sobre q₂

$$\vec F_2=\vec F_{21}+\vec F_{23}=(-37.5+0.785,\,0.785,\,3.14)$$

$$\vec F_2=(-36.72,\,0.785,\,3.14)\,\text{N}$$

Magnitud:

$$|\vec F_2|=\sqrt{(-36.72)^2+(0.785)^2+(3.14)^2}\approx\sqrt{1348.6+0.62+9.86}\approx36.85\,\text{N}$$

Conclusión: La fuerza sobre q₂ está dominada por la repulsión de q₃, y resulta

\(\vec F_2\approx(-36.72\,\hat i+0.785\,\hat j+3.14\,\hat k)\,\text{N}\), con magnitud ≈36.85 N.

Análisis: “Vector intensidad de carga eléctrica” se interpreta como el campo eléctrico \(\vec E\) en la posición de q₂, producido por las otras cargas (q₁ y q₃). Se cumple $$\vec F_2=q_2\vec E(\text{en }q_2)$$.

Paso 1: Usar la fuerza del literal (b)

Del literal (b): $$\vec F_2\approx(-36.72,\,0.785,\,3.14)\,\text{N}$$ y q₂=+30 μC=30×10⁻⁶ C.

Paso 2: Campo eléctrico

$$\vec E=\frac{\vec F_2}{q_2}$$

$$\vec E\approx\frac{(-36.72,\,0.785,\,3.14)}{30\times10^{-6}}\,\text{N/C}$$

$$\vec E\approx(-1.224\times10^6,\,2.62\times10^4,\,1.05\times10^5)\,\text{N/C}$$

Magnitud:

$$|\vec E|=\frac{|\vec F_2|}{|q_2|}\approx\frac{36.85}{30\times10^{-6}}=1.23\times10^6\,\text{N/C}$$

Conclusión: El campo eléctrico en q₂ es aproximadamente

\(\vec E(q_2)\approx(-1.224\times10^6\,\hat i+2.62\times10^4\,\hat j+1.05\times10^5\,\hat k)\,\text{N/C}\).

Análisis: El potencial eléctrico en la posición de q₂ (debido a q₁ y q₃) es escalar y se suma por superposición:

$$V(q_2)=k\left(\frac{q_1}{r_{12}}+\frac{q_3}{r_{23}}\right)$$

Datos: q₁=−20 μC, q₃=+50 μC; r₁₂=b=1.2728 m; r₂₃=a=0.60 m.

Cálculo:

$$V=9\times10^9\left(\frac{-20\times10^{-6}}{1.2728}+\frac{50\times10^{-6}}{0.60}\right)$$

$$V=9\times10^9\left((-15.72\times10^{-6})+(83.33\times10^{-6})\right)$$

$$V=9\times10^9\,(67.61\times10^{-6})=6.08\times10^5\,\text{V}$$

Conclusión: El potencial eléctrico en q₂ debido a q₁ y q₃ es ≈ 6.08×10⁵ V.

Análisis: El trabajo externo requerido para mover lentamente una carga de prueba q (sin cambio de energía cinética) desde un punto A a un punto B es:

$$W_{ext}=q\,(V_B-V_A)$$

Tomamos B en la posición de q₂. El “origen de coordenadas” debe ser un punto específico; la página no muestra el sistema de ejes, pero en estos problemas suele asumirse el origen en el centro de la base. Con esa suposición, calculamos V en el centro de la base (A) debido a q₁ y q₃, y V en q₂ (B) debido a q₁ y q₃.

Paso 1: Potencial en B (q₂)

Del literal (d): $$V_B\approx 6.08\times10^5\,\text{V}$$

Paso 2: Potencial en el origen (centro de la base)

Distancias al centro:

• De q₁ (vértice superior) al centro: r_1O=h=1.20 m.
• De q₃ (vértice de la base) al centro: r_3O=a/\sqrt2=0.60/\sqrt2=0.4243 m.

$$V_A=9\times10^9\left(\frac{-20\times10^{-6}}{1.20}+\frac{50\times10^{-6}}{0.4243}\right)$$

$$V_A=9\times10^9\left((-16.67\times10^{-6})+(117.85\times10^{-6})\right)$$

$$V_A=9\times10^9\,(101.18\times10^{-6})=9.11\times10^5\,\text{V}$$

Paso 3: Trabajo para q=1 μC

q=1 μC=1×10⁻⁶ C.

$$W_{ext}=q\,(V_B-V_A)=1\times10^{-6}\,(6.08\times10^5-9.11\times10^5)$$

$$W_{ext}=1\times10^{-6}\,(-3.03\times10^5)=-3.03\times10^{-1}\,\text{J}$$

Conclusión: Con el origen en el centro de la base, el trabajo externo resulta W_ext≈ −0.303 J. El signo negativo indica que el campo eléctrico hace el trabajo neto (el agente externo debería “frenar”).

Nota importante: Si tu docente define el “origen” en otro punto (por ejemplo, en un vértice), cambian r y V_A y por tanto W.