Página 106 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Pista: Coloca un sistema de coordenadas con el centro de la esfera en el origen y el plano ecuatorial en $$z=0$$. Recuerda que todo punto de la superficie esférica cumple $$x^2+y^2+z^2=R^2$$. Un vértice superior del cubo estará sobre esa superficie. Una vez encuentres la arista $$s$$, utiliza que la diagonal espacial de un cubo vale $$d=s\sqrt{3}$$.

Análisis del problema: La línea verde es la diagonal espacial del cubo inscrito en la semiesfera. Para calcular su longitud necesitamos primero conocer la arista $$s$$ del cubo.

Resolución paso a paso:

1. Colocamos el centro de la esfera en el origen $$(0,0,0)$$ y el plano ecuatorial (donde se corta la esfera en dos hemisferios) sobre el plano $$z=0$$. El cubo se apoya con su base en este plano y sus aristas son paralelas a los ejes coordenados.

2. Las coordenadas de un vértice superior del cubo son $$\left(\dfrac{s}{2},\dfrac{s}{2},s\right)$$. Al estar sobre la superficie esférica su distancia al origen debe ser igual al radio ($$R=10\text{ cm}$$):

   $$\sqrt{\left(\dfrac{s}{2}\right)^2+\left(\dfrac{s}{2}\right)^2+s^2}=10$$

   Simplificando:

   $$\sqrt{\dfrac{s^2}{4}+\dfrac{s^2}{4}+s^2}=\sqrt{\dfrac{3s^2}{2}} =10$$

   $$s\sqrt{\dfrac{3}{2}}=10\;\;\Longrightarrow\;\;s=10\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{10\sqrt{6}}{3}\;\text{cm} \approx 8.17\;\text{cm}$$

3. La diagonal espacial (línea verde) de un cubo de arista $$s$$ es $$d=s\sqrt{3}$$.

   $$d = \dfrac{10\sqrt{6}}{3}\,\sqrt{3}=\dfrac{10\sqrt{18}}{3}=\dfrac{10\cdot 3\sqrt{2}}{3}=10\sqrt{2}\;\text{cm}\approx 14.14\;\text{cm}$$

Conclusión / Respuesta final: La longitud de la línea verde es $$\boxed{10\sqrt{2}\;\text{cm}\;(\approx 14.14\;\text{cm})}$$.

Pista: Si ya encontraste la arista $$s$$, recuerda que el volumen de un cubo es $$s^3$$. No olvides elevar tanto el numerador como el denominador al cubo y simplificar. Para el cálculo numérico usa $$\sqrt{6}\approx 2.449$$.

Análisis del problema: Ya determinamos que la arista del cubo es $$s=\dfrac{10\sqrt{6}}{3}\;\text{cm}$$.

Resolución paso a paso:

1. La fórmula del volumen de un cubo es

   $$V=s^3$$

2. Sustituyendo el valor de $$s$$:

   $$V=\left(\dfrac{10\sqrt{6}}{3}\right)^3=\dfrac{1000\,(\sqrt{6})^3}{27}=\dfrac{1000\cdot 6\sqrt{6}}{27}=\dfrac{6000\sqrt{6}}{27}=\dfrac{2000\sqrt{6}}{9}\;\text{cm}^3$$

   Numéricamente:

   $$V\approx \dfrac{2000\times 2.449}{9}\approx 544.3\;\text{cm}^3$$

Conclusión / Respuesta final: El volumen del cubo es $$\boxed{\dfrac{2000\sqrt{6}}{9}\;\text{cm}^3\;(\approx 544.3\;\text{cm}^3)}$$.