Página 132 - Libro de Matemática de Octavo Grado

Recuerda que para una pirámide regular debes calcular:

• La apotema de cada cara triangular usando $$a_t=\sqrt{l^2-(\tfrac{s}{2})^2}$$.
• El área lateral sumando las áreas de los triángulos: $$A_L=n\cdot\tfrac{s\cdot a_t}{2}$$, donde n es el número de caras.
• El área de la base regular: $$A_{base}=\tfrac{P\cdot a_b}{2}$$, donde $$a_b$$ es el apotema de la base y $$P=n\cdot s$$.
• Por último suma $$A_T=A_L+A_{base}$$.

Análisis del problema: Se trata de una pirámide de base hexagonal regular con lado de la base $$s=16\ \mathrm{cm}$$ y aristas laterales $$l=19\ \mathrm{cm}$$.

Resolución paso a paso:

1. Cálculo de la apotema de una cara triangular: $$a_t=\sqrt{l^2-\left(\frac{s}{2}\right)^2}=\sqrt{19^2-8^2}=\sqrt{361-64}=\sqrt{297}=3\sqrt{33}\ \mathrm{cm}$$.
2. Área lateral: son 6 triángulos iguales, cada uno con base $$s$$ y altura $$a_t$$: $$A_L=6\cdot\frac{s\cdot a_t}{2}=6\cdot\frac{16\cdot(3\sqrt{33})}{2}=6\cdot24\sqrt{33}=144\sqrt{33}\ \mathrm{cm}^2$$.
3. Cálculo del apotema de la base hexagonal regular: $$a_b=\frac{s}{2\tan(\pi/6)}=\frac{16}{2\cdot\frac{1}{\sqrt3}}=8\sqrt3\ \mathrm{cm}$$.
4. Área de la base: $$A_{base}=\frac{P\cdot a_b}{2}=\frac{(6\cdot16)\cdot(8\sqrt3)}{2}=\frac{96\cdot8\sqrt3}{2}=384\sqrt3\ \mathrm{cm}^2$$.
5. Área total: $$A_T=A_L+A_{base}=144\sqrt{33}+384\sqrt3\approx1492{,}1\ \mathrm{cm}^2$$.

Conclusión: $$A_L=144\sqrt{33}\ \mathrm{cm}^2,\quad A_T=144\sqrt{33}+384\sqrt3\approx1492{,}1\ \mathrm{cm}^2$$.

Para un prisma regular:

• El área lateral es el producto del perímetro de la base por la altura: $$A_L=P\cdot h$$.
• El área de la base de un polígono regular se calcula con $$A_{base}=\tfrac{P\cdot a_p}{2}$$.
• El área total es $$A_T=A_L+2\cdot A_{base}$$.

Análisis del problema: Se trata de un prisma hexagonal regular con lado de base $$L=5\ \mathrm{cm}$$, altura del prisma $$h=12\ \mathrm{cm}$$ y apotema de la base $$a_p=5\ \mathrm{cm}$$.

Resolución paso a paso:

1. Cálculo del perímetro de la base: $$P=6\cdot L=6\cdot5=30\ \mathrm{cm}$$.
2. Área lateral del prisma: $$A_L=P\cdot h=30\cdot12=360\ \mathrm{cm}^2$$.
3. Área de una base hexagonal regular: $$A_{base}=\frac{P\cdot a_p}{2}=\frac{30\cdot5}{2}=75\ \mathrm{cm}^2$$.
4. Área total del prisma: dos bases más área lateral: $$A_T=A_L+2\cdot A_{base}=360+2\cdot75=510\ \mathrm{cm}^2$$.

Conclusión: $$A_L=360\ \mathrm{cm}^2,\quad A_T=510\ \mathrm{cm}^2$$.