Página 159 - Libro de Matemática de Octavo Grado

Para resolver este tipo de problemas:

• Recuerda que el espacio muestral al lanzar dos dados tiene $$6\times6=36$$ resultados igualmente probables.
• Aplica la fórmula de la unión mediante complementos:
  $$P(A\cup B)=1-P(A^c\cap B^c)$$.
• Identifica A^c y B^c y cuenta sus elementos por separado.

Análisis del problema: Se pide proponer una situación real o de juego donde sea necesario calcular probabilidades haciendo uso de conteo y de las leyes de De Morgan.

Solución propuesta:

1. Situación: Se lanzan dos dados justos de seis caras.
2. Definición de eventos:
   • A: “Al menos uno de los dados muestra un 6”.
   • B: “La suma de los dos dados es mayor que 8”.
3. Problema formulado: Calcular la probabilidad de que ocurra A ∪ B, es decir, P(A ∪ B), aplicando métodos de conteo y las leyes de De Morgan.

Para verificar tu respuesta puedes:

• Listar los 36 resultados y marcar los que cumplen A o B.
• Usar la fórmula de la unión: $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$ y comparar con el valor obtenido.
• Revisar la consistencia de los conteos asegurándote de no contar dos veces los mismos resultados.

Análisis del problema: Queremos encontrar P(A ∪ B) con A: “al menos un 6” y B: “suma > 8”.

Resolución paso a paso:

1. Calcular total de posibles resultados:
   $$N=6\times6=36$$.
2. Determinar A^c: “ningún dado muestra 6”, hay 5 opciones para cada dado → 5·5=25 resultados.
3. Determinar B^c: “suma ≤ 8”. Los pares cuya suma va de 2 a 8 son 26 resultados.
4. Calcular A^c ∩ B^c: resultados sin 6 y suma ≤ 8. De los 26 de B^c excluimos los que incluyen un 6 (que son (6,1),(1,6),(6,2),(2,6)), quedan 22.
5. Aplicar la fórmula de De Morgan:
   $$P(A\cup B)=1-P(A^c\cap B^c)=1-\frac{22}{36}=\frac{14}{36}=\frac{7}{18}$$.

Verificación: Podemos contar directamente los resultados de A ∪ B y comprobar que sean 14 de 36, lo que confirma P(A ∪ B)=7/18.

Al redactar tu guion:

• Mantén un lenguaje claro y cercano, como si hablaras directamente al estudiante.
• Introduce primero el problema de forma breve y motiva su resolución.
• Separa en secciones: definición de eventos, conteo, aplicación de De Morgan y resultado final.
• Usa preguntas retóricas para mantener el interés (“¿Cómo contaremos los resultados?”, “¿Por qué usamos el complemento?”).

Para que entiendas mejor de qué se trata vamos a resolver el siguiente problema.

Supongamos que lanzamos dos dados de seis caras y queremos calcular la probabilidad de que al menos uno muestre un 6 o que la suma de ambos sea mayor a 8. Definiremos los eventos A y B, y utilizaremos métodos de conteo para determinar cuántos resultados cumple cada evento en un espacio muestral de 36 posibles. Luego aplicaremos las leyes de De Morgan para simplificar el cálculo mediante el complemento. De esta manera, verás paso a paso cómo estos conceptos facilitan la resolución de problemas de probabilidad.