Página 56 - Libro de Matemática de Octavo Grado

Para resolver inecuaciones con fracciones:

• Encuentra el m.c.d. de los denominadores y multiplica para eliminar fracciones.
• Mantén el sentido de la desigualdad; recuerda que solo cambia al multiplicar o dividir por un número negativo.
• Revisa tu solución en forma de intervalo.

1. Inecuación a)
   

   Análisis: Es una inecuación lineal con fracciones. Pasamos los términos con x a un lado y los números al otro.

   Resolución paso a paso:
   Restamos x en ambos lados:
   $$x + \frac{2}{3} - x \le 2x + \frac{3}{4} - x$$
   Queda:
   $$\frac{2}{3} \le x + \frac{3}{4}$$
   Restamos \(\tfrac{3}{4}\) a ambos lados:
   $$\frac{2}{3} - \frac{3}{4} \le x$$
   Calculamos la diferencia (m.c.d. = 12):
   $$\frac{8}{12} - \frac{9}{12} = -\frac{1}{12} \le x$$

   Solución: $$x \ge -\tfrac{1}{12}$$

2. Inecuación b)
   

   Análisis: Lineal con tres fracciones; usamos m.c.d. 36.

   Resolución paso a paso:
   Multiplicamos ambos lados por 36:
   $$36\Bigl(\frac{x}{3}+\frac{x-2}{4}+\frac{x+3}{9}\Bigr)<36\cdot3$$
   Queda:
   $$12x+9(x-2)+4(x+3)<108$$
   Desarrollamos:
   $$12x+9x-18+4x+12<108$$
   Sumamos términos semejantes:
   $$25x -6<108$$
   Pasamos -6:
   $$25x<114$$
   Dividimos por 25:
   $$x<\frac{114}{25}$$

   Solución: $$x<\tfrac{114}{25}$$

3. Inecuación c)
   

   Análisis: Simplificamos fracciones antes de resolver.

   Resolución paso a paso:
   Observamos:
   $$\frac{3x}{6}=\frac{x}{2},\quad \frac{x-6}{3}\,.$$
   Multiplicamos ambos lados por 6:
   $$6\Bigl(\frac{x}{2}+\frac{x-6}{3}\Bigr)\ge6(-2)$$
   Queda:
   $$3x+2(x-6)\ge -12$$
   Desarrollamos:
   $$3x+2x-12\ge -12$$
   Simplificamos:
   $$5x-12\ge -12$$
   Pasamos -12:
   $$5x\ge0$$
   Dividimos por 5:
   $$x\ge0$$

   Solución: $$x\ge0$$

4. Inecuación d)
   

   Análisis: Sumamos y restamos fracciones con m.c.d. 30.

   Resolución paso a paso:
   Simplificamos:
   $$\frac{3x}{6}+\frac{2x+1}{6}=\frac{5x+1}{6},\quad \frac{1}{2}\cdot\frac{27+5x}{15}=\frac{27+5x}{30}.$$
   Planteamos:
   $$\frac{5x+1}{6}-\frac{27+5x}{30}<0$$
   Multiplicamos por 30:
   $$30\Bigl(\frac{5x+1}{6}-\frac{27+5x}{30}\Bigr)<0$$
   Queda:
   $$5(5x+1)-(27+5x)<0$$
   Desarrollamos:
   $$25x+5-27-5x<0\quad\Rightarrow\quad20x-22<0$$
   Pasamos 22:
   $$20x<22$$
   Dividimos por 20:
   $$x<\frac{11}{10}$$

   Solución: $$x<\tfrac{11}{10}$$

Busca aplicaciones que permitan ingresar expresiones matemáticas en formato LaTeX o en notación común y que muestren los pasos para verificar tu procedimiento.

Una aplicación muy útil es GeoGebra o WolframAlpha. Por ejemplo, en GeoGebra puedes introducir la ecuación $$x+5=12$$ y la herramienta te mostrará gráficamente la solución $$x=7$$. En WolframAlpha escribes “solve x+5=12” y obtienes paso a paso la resolución.

Reflexiona sobre los conceptos nuevos: inecuación, intervalo solución y manejo de denominadores.

He aprendido a resolver inecuaciones lineales con fracciones, aplicando el m.c.d. de los denominadores, pasando términos y manteniendo el sentido de la desigualdad.

Piensa en las estrategias que usaste: ¿dibujaste rectas numéricas? ¿multiplicaste por el m.c.d.? ¿verificaste con un valor de prueba?

Lo he aprendido siguiendo un proceso paso a paso: identificando denominadores, eliminando fracciones, agrupando términos y resolviendo la desigualdad.

Relaciona este conocimiento con situaciones reales: controlar gastos, dosificar tiempos o establecer rangos.

Me ha servido para entender cómo plantear y resolver desigualdades en problemas cotidianos, como presupuestos o límites de velocidad.

Identifica contextos en ciencias, economía y tecnología donde las desigualdades determinan límites o criterios de decisión.

Puedo usarlo al analizar rangos de temperatura, niveles de pH en química, o en programación para establecer condiciones en bucles y validaciones.