Página 83 - Libro de Matemática de Octavo Grado

• Define una incógnita clara (x) para las páginas de Julián y otra (d) para los días.
• Escribe una ecuación para cada persona usando "páginas diarias × días = total".
• Despeja d de una ecuación y sustitúyelo en la otra para resolver el sistema.

Análisis del problema: Sea x el número de páginas que lee diariamente Julián y d el número de días que leen ambos. María lee entonces x + 8 páginas cada día.

Planteo de ecuaciones:
1) Julián: $$x \,d = 28$$
2) María: $$(x + 8) \,d = 76$$

Resolución paso a paso:
De la primera ecuación despejamos d:
$$d = \frac{28}{x}$$
Sustituimos en la segunda:
$$(x+8) \cdot \frac{28}{x} = 76$$
Multiplicamos:
$$28(x+8) = 76x$$
Desarrollamos:
$$28x + 224 = 76x$$
Pasamos términos en x a un lado:
$$224 = 76x - 28x$$
$$224 = 48x$$
Despejamos x:
$$x = \frac{224}{48} = \frac{56}{12} = \frac{14}{3} \approx 4{,}67$$

Conclusión: Julián lee aproximadamente 4,67 páginas cada día.

• Para despejar una variable con fracciones, multiplica por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
• Reúne todas las x en un lado y los números en el otro.
• Si la solución es un único valor, se puede expresar como un intervalo degenerado [a,a].

Análisis: Aunque aparece el signo “=”, seguimos los mismos pasos que en una inecuación de primer grado: aislamos x.

Resolución paso a paso:
Paso 1: Escribimos la ecuación:
$$x - \frac{1}{2} = 6 + \frac{7x}{9}$$
Paso 2: Multiplicamos ambos lados por 18 (mínimo común múltiplo de 2 y 9):
$$18x - 9 = 108 + 14x$$
Paso 3: Agrupamos x en un lado:
$$18x - 14x = 108 + 9$$
$$4x = 117$$
Paso 4: Despejamos x:
$$x = \frac{117}{4} = 29{,}25$$

Conclusión/Intervalo: La solución es el valor único x = 29,25, que en forma de intervalo se escribe [29,25, 29,25].

• Recuerda que el conjugado de a–b es a+b.
• El producto (a–b)(a+b)=a^2–b^2 elimina las raíces.
• Mantén el mismo factor en numerador y denominador para no cambiar el valor.

Análisis: Para eliminar los radicales del denominador usamos el conjugado. Aquí el denominador es $$\sqrt{5}-\sqrt{3}$$ y su conjugado es $$\sqrt{5}+\sqrt{3}$$.

Resolución paso a paso:
Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado:
$$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}$$
Calculamos los cuadrados:
$$(\sqrt{5})^2 = 5, \quad (\sqrt{3})^2 = 3$$
Entonces el denominador queda:
$$5 - 3 = 2$$
La expresión racionalizada es:
$$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$$

• Convierte siempre las unidades al sistema internacional: km→m y h→s.
• Para pasar de km/h a m/s usa $$\times\frac{1000}{3600}$$.
• Aplica la fórmula t = d/v y expresa el resultado en notación científica.

Análisis: Debemos convertir la velocidad a metros por segundo y luego calcular el tiempo con tiempo = distancia / velocidad.

Resolución paso a paso:
1) Convertir velocidad a m/s:
$$v = 1{,}08 \times 10^5 \;\mathrm{km/h} \cdot \frac{1000\,\mathrm{m}}{1\,\mathrm{km}} \cdot \frac{1\,\mathrm{h}}{3600\,\mathrm{s}} = 3,00 \times 10^4\;\mathrm{m/s}$$
2) Calcular tiempo:
$$t = \frac{d}{v} = \frac{1{,}47 \times 10^{11}\;\mathrm{m}}{3{,}00 \times 10^4\;\mathrm{m/s}} = 4{,}90 \times 10^6\;\mathrm{s}$$

Conclusión: El tiempo aproximado es 4,90 × 10^6 s.

• Aplica (a^m)^n = a^{mn} para combinar exponentes.
• Recuerda que a^{-m} = 1/a^m.
• Agrupa y simplifica paso a paso dentro de corchetes antes de elevar al exponente exterior.

Análisis: Simplificamos paso a paso usando propiedades de exponentes: (a^m)^n=a^{mn} y a^m a^n=a^{m+n}.

Resolución paso a paso:
1) Dentro del corchete: $$(x^3)^{1/2} = x^{3/2}$$
2) Multiplicación interna: $$x \cdot x^{3/2} = x^{1 + 3/2} = x^{5/2}$$
3) Elevación al 1/5: $$(x^{5/2})^{1/5} = x^{(5/2)\cdot(1/5)} = x^{1/2}$$
4) Producto con x^1:
$$x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1 + 1/2} = x^{3/2}$$
5) Elevación final al -4:
$$(x^{3/2})^{-4} = x^{(3/2)\cdot(-4)} = x^{-6}$$
6) Expresión con exponente negativo:
$$x^{-6} = \frac{1}{x^6}$$

Conclusión: La forma simplificada es 1/x^6.