Página 7 - Libro de Matemática de Primero de Bachillerato

La aritmética se refiere al cálculo con números específicos, usando operaciones directas. Por otro lado, el álgebra introduce el concepto de variables (representadas por letras) que permiten generalizar las operaciones y resolver ecuaciones en función de valores desconocidos.

Análisis del problema: La pregunta busca discernir entre dos ramas fundamentales de las matemáticas.

Resolución: La aritmética es una rama de las matemáticas que trata con números y las operaciones básicas entre ellos, como la suma, resta, multiplicación y división. En cambio, el álgebra también utiliza números, pero introduce el uso de letras para representar variables o cantidades desconocidas. Esto permite realizar operaciones más generales y resolver problemas más complejos.

Conclusión: La principal diferencia es que la aritmética se centra en calcular con números concretos, mientras que el álgebra utiliza símbolos para representar y manipular números de forma más abstracta.

La diferencia de cuadrados es una técnica común en factorización. Recuerda la fórmula: $$(a^2 - b^2) = (a - b)(a + b)$$.

Análisis del problema: Identificar el patrón de factorización aplicable.

Resolución: La expresión $$x^2 - 1$$ puede factorizarse usando la diferencia de cuadrados, la cual sigue la fórmula $$(a^2 - b^2) = (a - b)(a + b)$$. Aquí, $$a = x$$ y $$b = 1$$.

Factorización:

$$(x^2 - 1) = (x - 1)(x + 1)$$

Conclusión: La factorización de $$x^2 - 1$$ es $$(x - 1)(x + 1)$$.

La factorización cubre diversas técnicas como sacar factor común, el uso de identidad o probar divisiones sintéticas o derivadas para encontrar factores de grado menor.

Análisis del problema: Identificar un patrón de factorización adecuado.

Resolución: Comienza buscando el factor común. En este caso, no hay un factor común evidente en todos los términos. Procede probando métodos, como la suma y producto o la factorización por ruffini.

Estudio de raíces: Intenta encontrar una raíz racional probando factores del término constante. Si 1 es la raíz, divide el polinomio por $$x - 3$$ usando la división sintética.

Conclusión: La factorización no es inmediata; requiere un proceso iterativo de prueba y ajuste para determinar la estructura exacta de factores.

Revisa la expresión para términos comunes o factores similares. La fracción puede tener términos que se cancelen entre sí al simplificar el denominador y numerador simultáneamente.

Análisis del problema: Simplificación de una fracción con términos algebraicos en el numerador y denominador.

Resolución: Primero, intenta simplificar individualmente el numerador y el denominador. Observa si puedes reducir términos o encontrar factores comunes.

Paso 1: Multiplica el numerador y el denominador por un factor común para eliminar el término fraccional interior.

Paso 2: Simplifica la fracción resultante si es posible.

Conclusión: La simplificación puede no ser directa y puede requerir cálculos específicos dependiendo de los términos presentes.

Siempre comienza eliminando las fracciones usando el MCM. Después, distribuye los términos para simplificar y despeja la incógnita.

Análisis del problema: Ecuación de primer grado con fracciones.

Resolución:

Paso 1: Elimina las fracciones. Multiplica toda la ecuación por el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores, que es 6.

$$6 \cdot \left(\frac{2(x+1)}{3} + \frac{3(x+2)}{2} \right) = 6 \cdot 2(x+2)$$

Paso 2: Realiza las multiplicaciones.

$$4(x+1) + 9(x+2) = 12(x+2)$$

Paso 3: Distribuye e iguala los términos.

$$4x + 4 + 9x + 18 = 12x + 24$$

Paso 4: Agrupa los términos semejantes.

$$13x + 22 = 12x + 24$$

Paso 5: Simplifica al despejar $$x$$.

$$x = 2$$

Conclusión: La solución de la ecuación es $$x = 2$$.