Página 105 - Libro de Física de Tercero de Bachillerato

1. Análisis
Se pide hallar el nuevo período de oscilación cuando la longitud del péndulo se reduce a la mitad. Para el péndulo simple, el período depende solo de la longitud y de g.

2. Desarrollo
El período de un péndulo simple es:
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$
Si la longitud inicial es L, su período es T (dato que se obtiene en el literal a).
Cuando la longitud se reduce a la mitad, L' = L/2, el nuevo período T' será:
$$T' = 2\pi\sqrt{\frac{L'}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{L/2}{g}}$$
$$T' = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}\cdot\frac{1}{2}} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\sqrt{\frac{1}{2}}$$
Pero $$2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} = T$$, por tanto:
$$T' = T\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{T}{\sqrt{2}}$$
Es decir, el nuevo período es menor que el original en un factor √2.

3. Respuesta final
Al disminuir la longitud del péndulo a la mitad, su período se reduce a T' = T/√2; numéricamente es aproximadamente el 71 % del período original.

1. Análisis
Se pide el nuevo período cuando la longitud del péndulo se hace el doble de la original.

2. Desarrollo
Para un péndulo simple:
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$
Si la longitud se duplica: L' = 2L, el nuevo período T' será:
$$T' = 2\pi\sqrt{\frac{L'}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{2L}{g}}$$
$$T' = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}\cdot 2} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\sqrt{2}$$
Como $$2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} = T$$, entonces:
$$T' = T\sqrt{2}$$

3. Respuesta final
Al duplicar la longitud del péndulo, el período aumenta en un factor √2; es decir, el nuevo período es T' = T√2, aproximadamente 1,41 veces el período original.

1. Análisis
Se pide la rapidez de la masa (lenteja) cuando el péndulo se encuentra en una apertura de 5°. Para responder, usamos energía mecánica, tomando como referencia que en el extremo la velocidad es cero y la energía es solo potencial.

2. Desarrollo
Para pequeños ángulos, la altura h a la que se encuentra la masa respecto a la posición de equilibrio es:
$$h = L(1 - \cos\theta)$$
donde L es la longitud del péndulo y θ el ángulo (en radianes).
En el extremo de máxima apertura (por ejemplo 16° en el problema) la energía es:
$$E = mgh_{max}$$
En otra posición de apertura θ = 5°, la energía total se conserva:
$$mgh_{max} = mgh + \tfrac{1}{2}mv^2$$
De allí:
$$v = \sqrt{2g(h_{max} - h)}$$
Con h_max = L(1 − cos 16°) y h = L(1 − cos 5°):
$$v = \sqrt{2gL[(1-\cos16^\circ) - (1-\cos5^\circ)]} = \sqrt{2gL(\cos5^\circ - \cos16^\circ)}$$
Usando L = 0,70 m y g ≈ 9,8 m/s²:
$$v = \sqrt{2(9{,}8)(0{,}70)(\cos5^\circ - \cos16^\circ)}$$
Calculando cos5° ≈ 0,9962 y cos16° ≈ 0,9599:
$$\cos5^\circ - \cos16^\circ \approx 0{,}9962 - 0{,}9599 = 0{,}0363$$
Entonces:
$$v \approx \sqrt{2(9{,}8)(0{,}70)(0{,}0363)}$$
$$v \approx \sqrt{0{,}498} \approx 0{,}71\text{ m/s}$$

3. Respuesta final
La velocidad de la lenteja cuando el péndulo pasa por una apertura de 5° es aproximadamente 0,71 m/s (tomando como amplitud máxima 16° y longitud 0,70 m).