Página 112 - Libro de Física de Tercero de Bachillerato
Movimiento armónico simple
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Recuerda que en rotación uniforme retardada se usa la misma ecuación que en MRUA lineal: $$\alpha = (\omega_f-\omega_i)/t$$. No olvides convertir las rpm a rad/s: multiplica por 2π y divide para 60.
Análisis
Se tiene un movimiento de rotación uniformemente retardado. Conocemos velocidad angular inicial, final y tiempo; se pide la aceleración angular.
Datos
t = 1 min = 60 s
ni = 150 rpm
nf = 90 rpm
Primero pasamos de rpm a rad/s usando que 1 rev = 2π rad y 1 min = 60 s.
Velocidad angular inicial:
$$\omega_i = 150\;\text{rev/min}\times\frac{2\pi\;\text{rad}}{1\;\text{rev}}\times\frac{1\;\text{min}}{60\;\text{s}} = 5\pi\;\text{rad/s}$$
Velocidad angular final:
$$\omega_f = 90\;\text{rev/min}\times\frac{2\pi\;\text{rad}}{1\;\text{rev}}\times\frac{1\;\text{min}}{60\;\text{s}} = 3\pi\;\text{rad/s}$$
Fórmula
En MRUA angular:
$$\alpha = \frac{\omega_f-\omega_i}{t}$$
Cálculo
$$\alpha = \frac{3\pi-5\pi}{60} = \frac{-2\pi}{60} = -\frac{\pi}{30}\;\text{rad/s}^2$$
Conclusión
La aceleración angular es:
α = −π/30 rad/s² ≈ −0,105 rad/s². El signo negativo indica que es retardado.
Dibuja diagramas de cuerpo libre para cada masa. Toma a como la misma para ambas (una sube, otra baja). Escribe ΣF = m·a en la dirección del movimiento y luego suma las ecuaciones para eliminar la tensión.
Análisis
Es una máquina de Atwood ideal (polea y cuerda sin masa, sin rozamiento). M2 > M1, por lo que M2 baja y M1 sube con la misma aceleración a.
Ecuaciones de movimiento
- Para M2 (baja):
$$\sum F = M_2 g - T = M_2 a$$ - Para M1 (sube):
$$\sum F = T - M_1 g = M_1 a$$
Cálculo de a
Sumamos ambas ecuaciones:
$$(M_2 g - T) + (T - M_1 g) = M_2 a + M_1 a$$
Se anula T:
$$(M_2 - M_1) g = (M_1 + M_2) a$$
$$a = \frac{(M_2 - M_1) g}{M_1 + M_2}$$
Sustituimos M1 = 6 kg, M2 = 10 kg, g ≈ 10 m/s²:
$$a = \frac{(10-6)\times 10}{6+10} = \frac{40}{16} = 2{,}5\;\text{m/s}^2$$
Cálculo de la tensión
Usamos la ecuación de M1:
$$T - M_1 g = M_1 a$$
$$T = M_1 (g + a)$$
$$T = 6 (10 + 2{,}5) = 6\times 12{,}5 = 75\;\text{N}$$
Conclusión
La aceleración del sistema es a = 2,5 m/s² y la tensión en la cuerda es T = 75 N.
Modelo de tiro parabólico: el alcance para un ángulo θ es $$R = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}$$ si sale y cae al mismo nivel. Aquí R = 10 m, θ = 30°. Despeja v0 de esa expresión.
Análisis
El ciclista sale de una rampa que forma un ángulo de 30° y debe recorrer horizontalmente 10 m en un tiro parabólico. Se busca la rapidez inicial mínima v0.
Componentes iniciales
v0x = v0 cos 30°
v0y = v0 sin 30°
Tiempo de vuelo
Suponiendo mismo nivel de salida y llegada, el tiempo total es:
$$t = \frac{2 v_0 \sin 30^\circ}{g}$$
Alcance horizontal
$$R = v_0 \cos 30^\circ\; t$$
Sustituimos t y exigimos R = 10 m:
$$10 = v_0 \cos 30^\circ \left(\frac{2 v_0 \sin 30^\circ}{g}\right)$$
$$10 = \frac{2 v_0^2 \sin 30^\circ \cos 30^\circ}{g}$$
Con g = 10 m/s², sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2:
$$10 = \frac{2 v_0^2 (1/2)(\sqrt{3}/2)}{10} = \frac{v_0^2 \sqrt{3}}{20}$$
Despejando v0:
$$v_0^2 = \frac{10\times 20}{\sqrt{3}} = \frac{200}{\sqrt{3}}$$
$$v_0 = \sqrt{\frac{200}{\sqrt{3}}}\approx 9{,}6\;\text{m/s}$$
Conclusión
La velocidad mínima de salida es aproximadamente 9,6 m/s.
En M.A.S. recuerda que $$\omega = 2\pi/T$$ y que la velocidad es máxima al pasar por el equilibrio: $$v_{\text{máx}} = \omega A$$. Primero halla ω a partir del periodo y luego multiplica por la amplitud.
Análisis
En un movimiento armónico simple (M.A.S.) la velocidad máxima se relaciona con la amplitud A y la frecuencia angular ω mediante vmáx = ωA.
Datos
A = 0,2 m
T = 3 s
Cálculo de ω
La frecuencia angular es:
$$\omega = \frac{2\pi}{T}$$
$$\omega = \frac{2\pi}{3}\;\text{rad/s}$$
Cálculo de la velocidad máxima
$$v_{\text{máx}} = \omega A = \frac{2\pi}{3} \times 0{,}2$$
$$v_{\text{máx}} = \frac{0{,}4\pi}{3} \approx 0{,}42\;\text{m/s}$$
Conclusión
La rapidez máxima del objeto en su M.A.S. es aproximadamente 0,42 m/s.
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4.
La velocidad con que gira un motor con movimiento uniformemente retardado, disminuyó al ser frenada durante $$1\ \text{min}$$, desde $$150\ \text{R.P.M.}$$ (revoluciones por minuto) hasta $$90\ \text{R.P.M.}$$. ¿Cuál es la aceleración angular del motor?
5.
Realizo el diagrama de las fuerzas que actúan sobre dos objetos de masas $$M_1 = 6\ \text{kg}$$ y $$M_2 = 10\ \text{kg}$$ colgando en una polea. Calculo la tensión del hilo y la aceleración con que se mueve el sistema.
[Ilustración: polea fija con dos masas colgando etiquetadas como M1 y M2]
6.
¿Con qué velocidad mínima debe salir el ciclista de la rampa, para que pueda cruzar el obstáculo de $$10\ \text{m}$$? (considera una gravedad de $$10\ \text{m\,s^{-2}}$$)
[Diagrama: ciclista salta una rampa con distancia horizontal 10 m y rampa de salida con ángulo 30°]
7.
Un objeto describe un movimiento armónico simple, si la amplitud es de $$0.2\ \text{m}$$, y su periodo de $$3\ \text{s}$$. Calculo la magnitud de su velocidad máxima.