Página 128 - Libro de Física de Tercero de Bachillerato

1. Análisis

Tenemos un cuadrado de lado 1 m. En tres vértices hay cargas iguales q₁=20 μC. En el cuarto vértice (vacío) queremos el potencial eléctrico total debido a esas tres cargas.

2. Resolución

Tomemos el vértice vacío como punto P. A P le rodean:

• Dos vértices vecinos a distancia 1 m.
• Un vértice opuesto por la diagonal, a distancia √2 m.

El potencial debido a una carga puntual es

$$V = k\,\frac{q}{r}$$

con k≈9,0×10⁹ N·m²/C², q=20 μC=20×10⁻⁶ C.

Potencial por cada carga vecina (r=1 m):

$$V_{vec} = 9,0\times10^{9}\,\frac{20\times10^{-6}}{1} = 1,8\times10^{5}\ \text{V}$$

Como hay dos cargas vecinas:

$$V_{2vec} = 2\times1,8\times10^{5}=3,6\times10^{5}\ \text{V}$$

Potencial por la carga en la diagonal (r=√2 m):

$$V_{diag} = 9,0\times10^{9}\,\frac{20\times10^{-6}}{\sqrt{2}}$$

$$V_{diag} \approx \frac{1,8\times10^{5}}{1{,}414} \approx 1,27\times10^{5}\ \text{V}$$

Potencial total en el vértice vacío:

$$V_T = V_{2vec}+V_{diag}\approx 3,6\times10^{5}+1,27\times10^{5}$$

$$V_T \approx 4,87\times10^{5}\ \text{V}$$

3. Respuesta final

El potencial eléctrico en el cuarto vértice es aproximadamente 4,9×10⁵ V.

1. Análisis

Queremos el trabajo que realiza el campo eléctrico al mover una carga de prueba q=10 μC desde el centro del cuadrado hasta el vértice vacío. El trabajo del campo se relaciona con la diferencia de potencial:

$$W = q\,(V_{inicial}-V_{final})$$

Tomaremos como positivo el trabajo hecho por el campo.

2. Potencial en el vértice (V_v)

Ya se calculó: $$V_v\approx4,87\times10^{5}\ \text{V}$$.

3. Potencial en el centro del cuadrado (V_c)

En el centro, las tres cargas están a la misma distancia: desde el centro a cada vértice la distancia es la mitad de la diagonal:

$$r_c = \frac{\sqrt{2}}{2}\ \text{m} = \frac{1}{\sqrt{2}}\ \text{m}$$

El potencial debido a una sola carga:

$$V_1 = k\,\frac{q_1}{r_c} = 9,0\times10^{9}\,\frac{20\times10^{-6}}{1/\sqrt{2}}$$

$$V_1 = 1,8\times10^{5}\,\sqrt{2} \approx 2,55\times10^{5}\ \text{V}$$

Como hay tres cargas:

$$V_c = 3V_1 \approx 3\times2,55\times10^{5}=7,65\times10^{5}\ \text{V}$$

4. Trabajo al mover la carga de 10 μC

q=10 μC = 10×10⁻⁶ C.

$$W = q\,(V_c - V_v)$$

$$W = 10\times10^{-6}\,(7,65\times10^{5}-4,87\times10^{5})$$

Diferencia de potencial:

$$\Delta V = 2,78\times10^{5}\ \text{V}$$

Entonces:

$$W = 10\times10^{-6}\times2,78\times10^{5}$$

$$W = 2,78\times10^{0} \ \text{J} \approx 2,8\ \text{J}$$

3. Respuesta final

El trabajo realizado por el campo al mover la carga de 10 μC desde el centro hasta el vértice vacío es aproximadamente 2,8 J. Si lo interpreta como trabajo externo, tendría signo opuesto.

1. Análisis

Se pregunta qué ocurre con el potencial y con el campo eléctrico si tomamos como punto de estudio otro vértice del cuadrado.

2. Razonamiento

En el cuadrado hay solo tres vértices con carga y uno vacío. Si cambiamos de vértice:

• Si elegimos un vértice con carga: el potencial allí es mayor porque incluye el aporte de la propia carga, cuya distancia es prácticamente cero (idealmente el potencial tiende a infinito en el punto donde está la carga). El campo eléctrico en ese punto, físicamente, no está bien definido, porque sería el campo creado por las otras dos cargas y no por la que está en el mismo punto.
• Si elegimos otro vértice vacío (por ejemplo quitando una carga y dejando vacío otro vértice): el valor del potencial y del campo cambiará ya que las distancias y la disposición relativa de las tres cargas respecto del nuevo punto de observación serán distintas. El potencial, al ser escalar, se recalcula como suma kq/r con los nuevos r; el campo, al ser vectorial, cambia tanto en módulo como en dirección.

En general, al moverse de un punto a otro dentro del sistema:

• El potencial eléctrico cambia de forma continua según la distancia a cada carga.
• El campo eléctrico también cambia: sus vectores componentes se suman de modo diferente y su dirección resultante se modifica.

3. Conclusión

Al cambiar de vértice:

• El potencial eléctrico ya no será el mismo, porque varían las distancias a las tres cargas (o incluso se coincide con una de ellas).
• El campo eléctrico también cambia en módulo y dirección al modificarse la geometría del sistema respecto del nuevo punto de análisis.