Página 34 - Libro de Física de Tercero de Bachillerato

Análisis: Se pide la ecuación de posición vectorial de un proyectil (balón) en 2D. De la tabla (literal b) se usa el MRUA en vertical con aceleración gravitatoria y MRU en horizontal. Tomo el origen en el punto de golpeo: r⃗(0)=0, eje x horizontal y eje y vertical.

Datos (Messi): rapidez inicial 95 km/h y ángulo de disparo ≈ 13°.

1) Convierto la rapidez a m/s

$$v_0=95\,\text{km/h}\times\frac{1000\,\text{m}}{1\,\text{km}}\times\frac{1\,\text{h}}{3600\,\text{s}}=26.39\,\text{m/s}$$

2) Descompongo la velocidad inicial

$$v_{0x}=v_0\cos\theta=26.39\cos(13^{\circ})=25.71\,\text{m/s}$$
$$v_{0y}=v_0\sin\theta=26.39\sin(13^{\circ})=5.93\,\text{m/s}$$

3) Ecuación vectorial de posición

Con $$\vec g=-g\,\hat{\jmath}$$ y $$g\approx 9.8\,\text{m/s}^2$$:

$$\vec r(t)=\big(v_{0x}t\big)\,\hat{\imath}+\Big(v_{0y}t-\tfrac12gt^2\Big)\,\hat{\jmath}$$

Sustituyendo valores numéricos para Messi:

$$\boxed{\vec r_M(t)=\big(25.71\,t\big)\,\hat{\imath}+\big(5.93\,t-4.90\,t^2\big)\,\hat{\jmath}}$$

Conclusión: Esa es la ecuación vectorial posición (en SI) del balón pateado por Messi, con ángulo 13° y sin rozamiento.

Análisis: Igual que el caso anterior: movimiento parabólico en 2D. Uso el origen en el punto de golpeo, sin rozamiento, eje x horizontal y eje y vertical; $$\vec g=-g\,\hat{\jmath}$$.

Datos (Ronaldo): rapidez inicial 119 km/h y ángulo de disparo ≈ 13° (según la tabla del literal b)).

1) Convierto la rapidez a m/s

$$v_0=119\,\text{km/h}\times\frac{1000\,\text{m}}{1\,\text{km}}\times\frac{1\,\text{h}}{3600\,\text{s}}=33.06\,\text{m/s}$$

2) Descompongo la velocidad inicial

$$v_{0x}=v_0\cos\theta=33.06\cos(13^{\circ})=32.21\,\text{m/s}$$
$$v_{0y}=v_0\sin\theta=33.06\sin(13^{\circ})=7.44\,\text{m/s}$$

3) Ecuación vectorial de posición

$$\vec r(t)=\big(v_{0x}t\big)\,\hat{\imath}+\Big(v_{0y}t-\tfrac12gt^2\Big)\,\hat{\jmath}$$

Con $$g\approx 9.8\,\text{m/s}^2$$, para Cristiano Ronaldo:

$$\boxed{\vec r_R(t)=\big(32.21\,t\big)\,\hat{\imath}+\big(7.44\,t-4.90\,t^2\big)\,\hat{\jmath}}$$

Conclusión: Esta ecuación vectorial describe la posición del balón pateado por Ronaldo (en SI), usando el ángulo 13° de la tabla.

Análisis: Se pide decidir si con un disparo a 10° el balón puede superar una barrera de 3 m, usando el modelo de tiro parabólico (sin rozamiento) y las velocidades de lanzamiento dadas (Messi 95 km/h, Ronaldo 119 km/h).

Modelo (altura máxima): Para un proyectil que sale desde el suelo (y₀=0), la altura máxima es

$$y_{max}=\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$$

Si y_max > 3 m, entonces existe al menos algún punto de la trayectoria por encima de 3 m; por tanto, puede superar una barrera de 3 m (en particular si la barrera no está extremadamente lejos). Si y_max < 3 m, entonces es imposible superar 3 m en cualquier punto.

Datos:

• g ≈ 9,8 m/s²
• θ = 10°
• v₀(Messi) = 95 km/h = 95/3,6 ≈ 26,39 m/s
• v₀(Ronaldo) = 119 km/h = 119/3,6 ≈ 33,06 m/s

1) Messi:

$$y_{max}=\frac{(26.39)^2\,\sin^2(10^\circ)}{2(9.8)}$$

Como $$\sin(10^\circ)\approx 0.17365\Rightarrow \sin^2(10^\circ)\approx 0.03015$$

$$y_{max}\approx \frac{(696.4)(0.03015)}{19.6} \approx \frac{21.0}{19.6}\approx 1.07\,\text{m}$$

Conclusión Messi: 1,07 m < 3 m ⇒ NO es factible superar una barrera de 3 m con 10° (según este modelo).

2) Cristiano Ronaldo:

$$y_{max}=\frac{(33.06)^2\,\sin^2(10^\circ)}{2(9.8)}$$

$$y_{max}\approx \frac{(1093.0)(0.03015)}{19.6} \approx \frac{33.0}{19.6}\approx 1.68\,\text{m}$$

Conclusión Ronaldo: 1,68 m < 3 m ⇒ NO es factible superar una barrera de 3 m con 10° (según este modelo).

Conclusión final (comparación): Con θ = 10° y las velocidades dadas, el balón no alcanza 3 m de altura (ni con 95 km/h ni con 119 km/h). Por lo tanto, no es factible superar una barrera de 3 m con un tiro libre a 10° para ninguno de los dos jugadores, bajo el supuesto de tiro parabólico ideal.