Página 104 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Pista para resolver el cuadro

• Recuerda que el dominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente (x). Observa qué conjunto especifica cada definición.
• Para el recorrido, toma algún valor genérico de x dentro del dominio y evalúa $$f(x)=2x-1$$; verifica qué tipo de números obtienes.
   Ejemplo: si x = 0 te da −1, si x = 1 te da 1… ¿ves un patrón?
• El criterio de creciente/decreciente depende del signo de la pendiente en la forma $$f(x)=mx+b$$.
• Para la gráfica, distingue entre:
   • Dominio en ℤ ➜ solo puntos.
   • Dominio en ℝ ➜ segmento infinito continuo.
  Un boceto rápido puede ayudarte.

Ten presente que una función lineal de pendiente positiva siempre sube al moverte a la derecha.

1. Análisis del problema
Debemos comparar la misma función lineal $$f(x)=2x-1$$ cuando su dominio son todos los números enteros (ℤ) y cuando su dominio son todos los números reales (ℝ). A partir de eso llenamos los apartados solicitados.

2. Resolución paso a paso

• Dominio
  • Para $$f(X)=2x-1;\;x\in\mathbb{Z}$$: $$Dom(f)=\mathbb{Z}$$ (todos los enteros).
  • Para $$f(x)=2x-1;\;x\in\mathbb{R}$$: $$Dom(f)=\mathbb{R}$$ (todos los reales).
• Recorrido
  La imagen es todo valor que puede tomar $$2x-1$$.
  • Si $$x\in\mathbb{Z}$$, entonces $$f(x)=2x-1\in\{\ldots,-5,-3,-1,1,3,5,\ldots\}$$, es decir el conjunto de enteros impares.
  • Si $$x\in\mathbb{R}$$, la recta genera $$\mathbb{R}$$ completo (todo número real), porque al despejar $$x=\dfrac{y+1}{2}$$ obtenemos solución para cualquier y real.
• Creciente o decreciente
  La pendiente es 2 > 0, por lo que la función es creciente en ambos casos (tanto en ℤ como en ℝ).
• Gráfica
  • Para el dominio entero: se representan puntos discretos sobre la recta y = 2x – 1, ubicados únicamente en coordenadas con componente x entera (se aprecia como puntos separados, no unidos).
  • Para el dominio real: es una recta continua con pendiente 2 que corta al eje y en (0, −1).

3. Conclusión / Respuesta final

Guía para redactar tus propias conclusiones

• Pregunta 1: ¿Cómo cambió el recorrido cuando pasaste de x∈ℤ a x∈ℝ? Esa diferencia es un buen punto para concluir.
• Pregunta 2: Observa si la creciente/decreciente se alteró entre ambos casos.
• Pregunta 3: Reflexiona sobre la representación gráfica: ¿qué se observa cuando usas un dominio discreto frente a uno continuo?
• Organiza cada idea en una oración clara y conecta el fenómeno con el contenido del cuadro.

Posibles conclusiones (ejemplo de redacción)

1. Cuando el dominio está restringido a $$\mathbb{Z}$$, la gráfica deja de ser continua y la imagen se limita a los números impares; esto muestra cómo el dominio afecta directamente al recorrido.
2. Aunque el dominio cambie, la pendiente permanece igual (2) y, por lo tanto, la función sigue siendo creciente tanto en ℤ como en ℝ.
3. La recta $$y=2x-1$$ representa un mismo modelo algebraico, pero con distintas representaciones gráficas (puntos versus recta continua), evidenciando la diferencia entre variables discretas y continuas.