Página 103 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Recuerda que el producto cartesiano de dos conjuntos A y B se define como el conjunto de todos los pares ordenados $$(a,b)\;|\;a\in A,\;b\in B$$.  Invierte los lugares para obtener B × A.

Para el soporte gráfico:

• Dibuja un eje cartesiano.
• Plota cada par de A × B con x perteneciente a A.
• Plota B × A en el mismo plano.
• Compara las posiciones: si al menos un punto no se repite, los conjuntos difieren.

Análisis del problema
Se debe comparar el producto cartesiano de dos conjuntos para mostrar que no generan el mismo conjunto de parejas ordenadas.

Resolución paso a paso

1. Definimos los conjuntos: $$A=\{-2,4,6,8\},\; B=\{-1,1,4\}$$.
2. Calculamos los productos cartesianos:

• Producto A × B:
  $$A\times B=\{(-2,-1),(-2,1),(-2,4),\; (4,-1),(4,1),(4,4),\; (6,-1),(6,1),(6,4),\; (8,-1),(8,1),(8,4)\}$$
• Producto B × A:
  $$B\times A=\{(-1,-2),(-1,4),(-1,6),(-1,8),\; (1,-2),(1,4),(1,6),(1,8),\; (4,-2),(4,4),(4,6),(4,8)\}$$

3. Comparación: Basta un contra-ejemplo.
   El par $$(-2,-1)\in A\times B$$ no pertenece a $$B\times A$$; por lo tanto los conjuntos son diferentes.
4. Representación gráfica:
   Trazamos los puntos de A × B y B × A en el plano cartesiano. Los puntos de A × B quedan alineados verticalmente arriba de cada valor de x en A, mientras que los de B × A quedan alineados horizontalmente respecto de cada valor de y en A. Visualmente se nota que ambas nubes de puntos no coinciden.

Conclusión / Respuesta final
Al existir al menos un par ordenado presente en A × B y ausente en B × A (y viceversa), se demuestra que $$A\times B \neq B\times A$$.

Para construir tu propio pentágono:

1. Elige cinco puntos de forma que no queden tres en línea recta (evita colinealidad).
2. Dibuja los puntos y únelos en orden para comprobar que la figura sea un pentágono.
3. Escribe cada punto como un par ordenado $$(x,y)$$ y forma el conjunto.

Análisis del problema
Se requiere seleccionar cinco puntos no colineales que formen un pentágono (convexo o no) y expresarlos como una relación.

Resolución paso a paso

1. Elegimos cinco vértices de manera que al unirlos formen un pentágono convexo. Por ejemplo:
   $$P_1(0,0),\;P_2(2,0),\;P_3(3,2),\;P_4(1,4),\;P_5(-1,2)$$
2. La relación R se expresa como el conjunto:
   $$R=\{(0,0),(2,0),(3,2),(1,4),(-1,2)\}$$

Conclusión / Respuesta final
La relación R definida por esos cinco pares ordenados cumple con ser los vértices de un pentágono.

Pasos clave:

• Elige una recta oblicua (pendiente ≠ 0, indefinido).
• Toma al menos tres puntos distintos de esa recta.
• Asegura la simetría añadiendo los pares inversos.
• Comprueba que sigues teniendo al menos tres puntos sobre la recta.

Análisis del problema
Una relación es simétrica si, cuando contiene un par $$(x,y)$$, también contiene $$(y,x)$$. Además, se pide que al menos tres de sus puntos estén sobre una recta no horizontal ni vertical.

Resolución paso a paso

1. Tomemos la recta oblicua $$y = 2x + 1$$.
2. Seleccionamos tres puntos de ella, por ejemplo:
   $$(-1,-1),\;(0,1),\;(1,3)$$
3. Para garantizar la simetría, agregamos los pares inversos:
   $$(-1,-1)\;(1,0);\;(3,1)$$
4. Podemos incluir otros pares simétricos si lo deseamos, pero con estos basta.

Así la relación queda:
$$R = \{(-1,-1),(0,1),(1,3),(1,0),(3,1)\}$$

Conclusión / Respuesta final
La relación R es simétrica porque cada par $$(x,y)$$ tiene su correspondiente $$(y,x)$$, y tres de sus puntos pertenecen a la recta oblicua $$y = 2x + 1$$.

Busca el valor más alto en la columna de alturas. Si la pelota fue lanzada hacia arriba, el primer registro puede coincidir con la posición inicial desde el edificio.

Análisis del problema
Se observa la tabla de datos (Tiempo vs. Altura) para identificar el valor máximo de la columna “Altura”.

Resolución
Alturas registradas (en metros): 125, 111.2, 100.04, 86.6, 69.8, 51.
El mayor de estos valores es 125 m, correspondiente al instante inicial (t = 0 s).

Conclusión / Respuesta final
La altura máxima alcanzada por la pelota es 125 metros.

Pasos prácticos:

• Elige tres puntos de la tabla y reemplázalos en f(t)=at²+bt+c.
• Obtendrás tres ecuaciones: una para cada punto.
• Resuelve el sistema (por sustitución, eliminación o matrices) para encontrar a, b y c.
• Comprueba tu modelo evaluando f(t) en los otros tiempos disponibles.

Análisis del problema
Se requieren los coeficientes a, b, c que hagan que la parábola pase (aproximadamente) por los datos de la tabla.

Resolución paso a paso

1. Sea f(t) la altura (m) en función del tiempo t (s). Usamos tres puntos representativos:
   (0, 125), (1, 111.2) y (5, 51).
2. Planteamos el sistema:
   $$\begin{cases}f(0)=c=125\\f(1)=a+b+125=111.2\\f(5)=25a+5b+125=51\end{cases}$$
3. Despejamos:
   \begin{aligned}a+b&=-13.8\\25a+5b&=-74\end{aligned}
4. Simplificamos la segunda ecuación dividiendo entre 5:
   $$5a+b=-14.8$$
5. Restamos las ecuaciones:
   $$4a=-1\;\Longrightarrow\;a=-0.25$$
6. Sustituimos para obtener b:
   $$b=-13.8-(-0.25)=-13.55$$

Modelo obtenido
$$\boxed{f(t)=-0.25t^{2}-13.55t+125}$$

La curva aproxima razonablemente los datos experimentales.

Piensa en qué significa cada valor de la variable independiente dentro del contexto. Si t representa tiempo transcurrido desde un evento nítido (el lanzamiento), solo son relevantes los valores a partir de cero.

Análisis del problema
La variable independiente es el tiempo (t). Se pregunta si puede asumir valores negativos en el contexto físico de la experiencia.

Resolución
En un experimento real, el tiempo t = 0 s se define como el instante en que la pelota abandona la mano de Fabián. Por lo tanto:

• Para t > 0: la pelota está en movimiento.
• Para t = 0: posición inicial 125 m.
• t < 0 correspondería a instantes antes del lanzamiento, los cuales no forman parte de la situación analizada.

Conclusión / Respuesta final
No, la variable independiente (el tiempo) no puede tomar valores negativos en esta situación, porque el modelo solo describe el movimiento a partir del lanzamiento.

• Domina la idea de dominio como los valores permitidos de x (en este caso, t).
• El recorrido se localiza examinando los valores extremos y, si la parábola se invierte dentro del intervalo, el valor en el vértice.
Una parábola con a < 0 tiene máximo en el vértice y mínimos en los extremos del dominio cerrado.

Análisis del problema
Con la función $$f(t)=-0.25t^{2}-13.55t+125$$ se deben establecer los valores admisibles de la variable independiente (dominio) y los de la dependiente (recorrido).

Resolución paso a paso

1. Dominio:
   El experimento mide entre 0 s y 5 s, por lo que:
   $$D=[0,5]$$
2. Recorrido:
   Evaluamos f(t) en los extremos del dominio porque la parábola abre hacia abajo (a < 0).
   • f(0)=125 m
   • f(5)=51 m
   El vértice se halla en $$t_v=-\dfrac{b}{2a}= -\dfrac{-13.55}{2(-0.25)}\approx-27.1\;\text{s}$$, fuera del dominio, por lo que dentro de [0,5] el máximo es 125 m y el mínimo 51 m.

Conclusión / Respuesta final
$$\boxed{D=[0,5]\quad R=[51,125]}$$

• Para un trazo limpio genera una tabla con valores intermedios (p. ej. cada 0.5 s).
• Verifica que la curva sea suave y continua.
• La pendiente negativa indica que la altura disminuye con el tiempo.

Instrucciones para graficar

1. Traza un sistema de ejes: x-horizontal (tiempo en segundos) y y-vertical (altura en metros).
2. Marca el dominio de 0 s a 5 s.
3. Ubica los puntos de la tabla original: (0,125), (1,111.2), (2,100.04), (3,86.6), (4,69.8), (5,51).
4. Dibuja la parábola que ajusta esos puntos, siguiendo la expresión:
   $$f(t)=-0.25t^{2}-13.55t+125$$
5. Etiqueta los ejes e incluye unidades.

Resultado esperado
Obtendrás una curva descendente (parábola invertida) que inicia en 125 m y desciende hasta 51 m en 5 s.