Página 102 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Recuerda las fórmulas de Viète para la ecuación $$x^2+bx+c=0$$:

• Suma de raíces: $$m+n=-b$$
• Producto de raíces: $$mn=c$$

Transforma la condición $$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}$$ en una sola fracción usando el producto $$mn$$. Luego iguala con el valor dado y despeja.

Análisis del problema
La ecuación es de la forma $$x^2 + yx + 36 = 0$$. Sus raíces son $$m$$ y $$n$$.

Resolución paso a paso

1. Por las relaciones de Viète para una ecuación monómica $$x^2 + bx + c = 0$$ se tiene:
   
   • Suma de las raíces: $$m+n=-b$$
   • Producto de las raíces: $$mn=c$$
   En nuestro caso: $$b=y\,,\; c=36$$. Así:
   $$m+n=-y\quad\text{y}\quad mn=36$$
2. Se conoce que $$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{5}{12}$$. Pero
   $$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{m+n}{mn}$$
3. Sustituyendo $$mn=36$$:
   $$\dfrac{m+n}{36}=\dfrac{5}{12}$$
4. Despejamos $$m+n$$:
   $$m+n=36\cdot\dfrac{5}{12}=15$$
5. Finalmente, $$m+n=-y\Rightarrow -y=15\Rightarrow y=-15$$

Conclusión/Respuesta final
El valor de y es $$\boxed{-15}$$.

Para una ecuación cuadrática $$ax^2+bx+c=0$$, usa que el producto de raíces es $$\dfrac{c}{a}$$. Si las raíces son recíprocas ($$\alpha\beta=1$$), iguala esta razón a 1 y despeja el parámetro.

Análisis del problema
Si dos raíces son recíprocas, su producto es 1.

Resolución paso a paso

1. Para la ecuación $$px^2-(p+1)x+(2p-3)=0$$ identificamos
   $$a=p,\; b=-(p+1),\; c=2p-3$$
2. Producto de las raíces ($$\alpha\beta$$):
   $$\alpha\beta=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2p-3}{p}$$
3. Como las raíces son recíprocas, $$\alpha\beta=1$$, entonces
   $$\dfrac{2p-3}{p}=1$$
4. Resolvemos:
   $$2p-3=p\quad\Rightarrow\quad p=3$$

Conclusión/Respuesta final
El valor de p es $$\boxed{3}$$.

Recuerda que en una ecuación $$x^2+bx+c=0$$ el producto de raíces es $$c$$ (porque el coeficiente principal es 1). Si conoces una raíz ($$r_1$$), basta con:
$$r_1\cdot r_2=c\;\Rightarrow\; r_2=\dfrac{c}{r_1}$$

Una vez hallado, puedes verificar con la suma $$r_1+r_2=b$$ para comprobar consistencia.

Análisis del problema
La ecuación tiene dos raíces. Se conoce una de ellas ($$x_1=2$$) y se pide la otra ($$x_2$$).

Resolución paso a paso

1. Para $$x^2-(n+1)x-5=0$$ (coeficiente principal 1) se cumple:
   
   • Suma de raíces: $$x_1+x_2=n+1$$
   • Producto de raíces: $$x_1x_2=-5$$
2. Usamos el producto para hallar $$x_2$$:
   $$2\,x_2=-5\quad\Rightarrow\quad x_2=-\dfrac{5}{2}$$

Conclusión/Respuesta final
La otra raíz es $$\boxed{-\dfrac{5}{2}}$$.