Página 101 - Libro de Matemática de Décimo Grado

1. Escribe variables para cada altura (mesa, perro y gato).
2. Traduce cada situación a una ecuación que relacione esas variables y la distancia dada.
3. Suma o resta las ecuaciones para eliminar incógnitas.
4. Verifica tu resultado sustituyéndolo en ambas situaciones.

Análisis del problema

Se muestran dos situaciones:
1. Perrito sobre la mesa y gatito en el suelo → la distancia vertical entre ellos es 170 cm.
2. Gatito sobre la mesa y perrito en el suelo → la distancia vertical entre ellos es 130 cm.

Sea
$$H=\text{altura de la mesa (cm)}$$
$$P=\text{altura del perro (cm)}$$
$$G=\text{altura del gato (cm)}$$

Resolución paso a paso – Método 1 (sistema de ecuaciones)

1. Situación 1: el perro está sobre la mesa y el gato en el suelo.
   $$H+P-G = 170$$
2. Situación 2: el gato está sobre la mesa y el perro en el suelo.
   $$H+G-P = 130$$
3. Se suman ambas ecuaciones:
   $$(H+P-G)+(H+G-P)=170+130$$
   $$2H = 300$$
   $$H = \frac{300}{2}=150\text{ cm}$$

Método 2 (eliminación directa)

1. Restamos las dos distancias para eliminar la altura de la mesa:
   $$170-130=(H+P-G)-(H+G-P)=2(P-G)$$
   $$40 = 2(P-G) \Rightarrow P-G = 20$$
2. Usamos cualquiera de las distancias, por ejemplo la primera:
   $$H+P-G = 170\;\text{ y }\;P-G = 20$$
   Reemplazamos:
   $$H+20 = 170$$
   $$H = 150\text{ cm}$$

Conclusión

La altura de la mesa es 150 cm.

Este tipo de ejercicio se llama alfamética o criptograma numérico.
1. Coloca las letras como cifras en una suma vertical.
2. Trabaja de derecha a izquierda analizando la columna de unidades, luego decenas, etc.
3. Usa las restricciones de los acar­reos: cada suma de columna debe dejar un dígito (0–9) y quizá un acarreo a la siguiente.
4. Cada letra representa un único dígito, no se pueden repetir.

Ejemplo más simple:

 A
+A
--
Para que sea posible, $$A+A= B$$ y $$A \neq B$$.

Análisis del problema

En la pantalla aparece una suma tipo criptograma (alfanumérica):

  M A M
  M A T
+ M T T
---------
 1 4 1 6

Cada letra representa un dígito distinto.

Resolución paso a paso

1. Columna de las unidades:
   $$M + T + T = 6 + 10c_1$$
   donde $$c_1$$ es el acarreo (carry) a la columna de las decenas.
2. Columna de las decenas:
   $$A + A + T + c_1 = 1 + 10c_2$$
3. Columna de las centenas:
   $$M + M + M + c_2 = 4 + 10c_3$$
4. Columna de los millares: el resultado muestra 1, así que
   $$c_3 = 1$$
5. Sustituyendo $$c_3=1$$ y buscando valores coherentes:
   $$3M + c_2 = 14$$
   Esto solo es posible si $$M = 4$$ y $$c_2 = 2$$.
6. Vuelve a la columna de las decenas:
   $$2A + T + c_1 = 21$$
7. Unidades:
   $$4 + 2T = 6 + 10c_1 \;\Rightarrow\; 2T = 2 + 10c_1$$
   Si $$c_1 = 1$$ se obtiene $$T = 6$$ y satisface la ecuación de las decenas:
   $$2A + 6 + 1 = 21 \Rightarrow 2A = 14 \Rightarrow A = 7$$
8. Verificación: 474 + 476 + 466 = 1416 ✔️

Conclusión

La correspondencia es M = 4, A = 7, T = 6.
Por tanto, la clave que combina las letras MAT es 476.