Página 100 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Recuerda el perímetro de un rectángulo:
$$P = 2l + 2a$$.

Al introducir una sola variable podrás expresar la otra con ayuda del perímetro (despejar). Una vez hecho esto, la fórmula del área $$A = l \times a$$ quedará escrita en función de una sola incógnita. Ese es el punto de partida para los literales b) y c).

Análisis del problema
Se dispone de 800 m de cerca para delimitar un terreno rectangular. Para maximizar el área se debe demostrar que dicho rectángulo es en realidad un cuadrado.

Resolución paso a paso

1. Defino variables:
   Ancho = x (m)
   Largo = y (m)
2. Relación de perímetro:
   $$2x + 2y = 800$$  ⇒  $$y = 400 - x$$
3. Dimensiones expresadas con una sola variable:
   Ancho = $$x$$
   Largo = $$400 - x$$
4. Expresión del área:
   $$A = x(400 - x)$$

Conclusión / Respuesta final
Dimensiones en función de una sola variable:
Ancho = $$x$$ m, Largo = $$400 - x$$ m.
Perímetro: $$2x + 2(400 - x) = 800$$.
Área: $$A = x(400 - x)$$.

Si ya sabes que $$A = x(400 - x)$$, intenta expandir el producto para obtener la forma estándar $$ax^2 + bx + c$$. Ese formato te ayuda a:

• Reconocer que la parábola abre hacia abajo (a < 0).
• Encontrar el vértice con la fórmula $$x_v = -\frac{b}{2a}$$ y así determinar el área máxima.

Análisis del problema
Debemos encontrar la expresión de A(x) usando el perímetro fijo de 800 m.

Resolución paso a paso

1. Del literal a) tenemos $$y = 400 - x$$.
2. Sustituyo en el área:
   $$A(x) = x(400 - x)$$
3. Expando y simplifico para obtener la forma estándar de la función cuadrática:
   $$A(x) = -x^2 + 400x$$

Conclusión / Respuesta final
La función cuadrática que relaciona el área (en m²) con la variable x (en m) es:
$$A(x) = -x^2 + 400x$$.

Para trazar la parábola:

• Construye una tabla de valores para x = 0, 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400 y calcula A(x).
• Marca el vértice con la fórmula $$x_v = -\frac{b}{2a}$$ para asegurarte de la altura máxima.
• Recuerda que la parábola es simétrica respecto a $$x = 200$$. Puedes graficar solo la mitad izquierda y reflejar.

Análisis del problema
Debemos representar la parábola $$A(x) = -x^2 + 400x$$ en el plano x (base) vs. A (área).

Resolución paso a paso

1. Encuentro el vértice:
   $$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{400}{2(-1)} = 200$$
   $$A(200) = -200^2 + 400(200) = 40000\text{ m}^2$$
2. Cortes con los ejes:
   Eje x (raíz) ⇒ $$A(x)=0$$
   $$-x^2 + 400x = 0 \quad \Rightarrow \quad x(400 - x)=0 \Rightarrow x=0 \text{ o } x=400$$
   Eje y ⇒ $$x=0 \Rightarrow A(0)=0$$
3. Boceto:
   • Puntos clave: (0,0), (400,0) y vértice (200,40000).
   • La parábola abre hacia abajo.
   • El dominio práctico es 0 < x < 400 (medidas físicas positivas).

Conclusión / Respuesta final
Dibuja una parábola que pasa por (0,0) y (400,0) con vértice en (200, 40000). Esta gráfica muestra cómo el área aumenta hasta 40 000 m² cuando el terreno se convierte en un cuadrado de 200 m de lado.