Página 99 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Pista: Observa la forma de cada gráfica.
- Una recta corresponde a la potencia 1.
- Una parábola (abre en U) indica potencia 2.
- Una curva con forma de S alargada (cambia de concavidad) sugiere potencia 3.
Relaciona la potencia con el nombre (lineal, cuadrática, cúbica) y recuerda las expresiones generales:

• Lineal: $$f(x)=mx+b$$
• Cuadrática: $$f(x)=ax^{2}+bx+c$$
• Cúbica: $$f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$$

Análisis del problema:
Se observan tres gráficas identificadas como A (recta), B (parábola) y C (curva cúbica). Debemos registrar, para cada una, (1) la potencia a la que está elevada la variable independiente x, (2) el nombre de la función y (3) una expresión algebraica general que la represente.

Resolución paso a paso:

1. Función A
   - La gráfica es una recta.
   - En una recta la variable independiente está a la potencia 1.
   - Nombre: función lineal.
   - Expresión general: $$f(x)=mx+b$$, donde m es la pendiente y b la intersección con el eje y.
2. Función B
   - La gráfica es una parábola abierta hacia arriba.
   - En una parábola la variable está a la potencia 2.
   - Nombre: función cuadrática.
   - Expresión general: $$f(x)=ax^{2}+bx+c$$.
3. Función C
   - La curva muestra un cambio en la concavidad típico de una cúbica.
   - La variable está a la potencia 3.
   - Nombre: función cúbica.
   - Expresión general: $$f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$$.

Conclusión / Respuesta final:

Pista general:

• Usa la forma pendiente-intersección $$y=mx+b$$. El coeficiente de x es la pendiente (m) y b es la intersección con el eje y.
• Para hallar la intersección con x fija $$y=0$$ y resuelve para x; para la intersección con y fija $$x=0$$.
• Si conoces dos puntos puedes calcular la pendiente con $$m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$ y luego sustituir uno de los puntos en $$y=mx+b$$ para encontrar b.
• Cuando el punto dado está en el origen (0,0) la ecuación se simplifica a $$y=mx$$.

Análisis del problema:
Tenemos una tabla de líneas rectas (funciones lineales). Para cada fila se dan unos datos (ec-uación, pendiente, intersecciones) y debemos calcular los que faltan.

Resolución paso a paso:

1. Fila 1
   Función dada: $$f(x)=-\tfrac14x+\tfrac87$$
   - Pendiente: el coeficiente de x es $$m=-\tfrac14$$.
   - Intersección con y (x = 0): $$f(0)=\tfrac87\Rightarrow (0,\tfrac87)$$.
   - Intersección con x (y = 0):
     $$0=-\tfrac14x+\tfrac87$$
     $$\tfrac14x=\tfrac87$$
     $$x=\tfrac87\cdot4=\tfrac{32}{7}$$
     Punto: $$\left(\tfrac{32}{7},0\right)$$.
2. Fila 2
   Datos: Intersecciones A(0; –5) y B(-1/5; 0).
   - Pendiente: $$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{0-(-5)}{-\tfrac15-0}=\frac{5}{-\tfrac15}=-25$$.
   - Función (forma pendiente-intersección): $$f(x)=mx+b$$ con $$b=-5$$.
     Por lo tanto: $$f(x)=-25x-5$$.
3. Fila 3
   Datos: Pendiente m = 3 y punto P(3; 9).
   - Ecuación con la forma punto-pendiente:
     $$y-9=3(x-3)$$
     $$y=3x-9+9$$
     $$\boxed{y=3x}$$.
   - Intersección con y (x = 0): $$(0,0)$$.
   - Intersección con x (y = 0): $$0=3x\Rightarrow x=0$$; punto $$(0,0)$$.

Conclusión / Respuesta final: