Página 108 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Piensa qué significa que una proposición sea verdadera o falsa y compáralo con el estado encendido o apagado de un cable con corriente. Busca ejemplos de compuertas lógicas (AND, OR, NOT) y revisa su tabla de verdad: verás que coincide con las operaciones lógicas que ya conoces.

Análisis de la pregunta

Se solicita explicar el vínculo entre la lógica de proposiciones (verdadero/falso) y el funcionamiento de los circuitos electrónicos (encendido/apagado).

Respuesta desarrollada

En los circuitos electrónicos digitales, cada componente puede encontrarse en uno de dos estados físicos bien definidos: alto (presencia de voltaje) o bajo (ausencia de voltaje). Estos estados se representan lógicamente como 1 (verdadero) y 0 (falso). Los circuitos combinacionales emplean compuertas lógicas —AND, OR, NOT, NAND, NOR, XOR— que realizan exactamente las mismas operaciones que las conectivas lógicas de la lógica proposicional:

• La compuerta AND implementa la conjunción ($$p \land q$$) y sólo da salida 1 cuando todos sus insumos valen 1.
• La compuerta OR implementa la disyunción ($$p \lor q$$) y da salida 1 si alguno de sus insumos vale 1.
• La compuerta NOT implementa la negación ($$\lnot p$$) invirtiendo el valor del insumo.

Combinando estas compuertas se pueden construir circuitos que evalúan expresiones lógicas complejas (por ejemplo, $$ (p \lor q) \land \lnot r $$). Así, la lógica de proposiciones proporciona el lenguaje y las reglas de verdad con las que los ingenieros diseñan y verifican el comportamiento de los circuitos electrónicos.

Recuerda:
• Unión ( ∪ ) reúne todos los elementos de ambos conjuntos.
• Intersección ( ∩ ) conserva solo los elementos comunes.
Realiza primero la unión A ∪ B y, al final, intersecta con C.

Análisis del problema

Se solicita calcular la intersección entre la unión de A y B con el conjunto C.

Resolución paso a paso

1. A ∪ B:
   $$A = \{0,2,4,5,6,7,8\}$$
   $$B = \{0,4,5,7,8\}$$
   La unión agrega todos los elementos sin repetir:
   $$A \cup B = \{0,2,4,5,6,7,8\}$$
2. Intersección con C:
   $$C = \{0,2\}$$
   $$(A \cup B) \cap C = \{0,2\}$$

Conclusión/Respuesta final

El conjunto resultante es {0, 2}.

• El complemento $$X^c$$ se obtiene quitando los elementos de X al universo U.
• Realiza las operaciones en el orden indicado por los paréntesis: primero la intersección, luego el complemento y al final la unión.

Análisis del problema

Se requiere el complemento de la intersección A ∩ C respecto del universo U y luego su unión con B.

Resolución paso a paso

1. Intersección A ∩ C:
   $$A \cap C = \{0,2\}$$
2. Complemento:
   $$(A \cap C)^c = U - \{0,2\} = \{4,5,6,7,8,9,11,12,24\}$$
3. Unión con B:
   $$B = \{0,4,5,7,8\}$$
   $$(A \cap C)^c \cup B = \{0,4,5,6,7,8,9,11,12,24\}$$

Conclusión/Respuesta final

El conjunto resultante es {0, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 24}.

Recuerda que la diferencia $$X - Y$$ contiene los elementos que están en X pero no en Y. Si un conjunto es subconjunto del otro, una de las diferencias quedará vacía, y la intersección con ∅ siempre es ∅.

Análisis del problema

Se calculan dos diferencias simétricas y luego su intersección.

Resolución paso a paso

1. Diferencia A − B:
   $$A - B = \{2,6\}$$
2. Diferencia B − A:
   B es subconjunto de A, entonces
   $$B - A = \varnothing$$
3. Intersección:
   $$(A - B) \cap (B - A) = \varnothing$$

Conclusión/Respuesta final

El conjunto resultante es el conjunto vacío ∅.

• Calcula primero la intersección A ∩ B.
• Después, elimina de ese resultado los elementos que pertenezcan a C.
• La diferencia $$X - Y$$ no incluye los elementos de Y, incluso si alguno de ellos aparece también en X.

Análisis del problema

Se debe hallar la intersección A ∩ B y luego restarle el conjunto C.

Resolución paso a paso

1. Intersección A ∩ B:
   $$A \cap B = \{0,4,5,7,8\}$$
2. Diferencia con C:
   $$C = \{0,2\}$$
   $$ (A \cap B) - C = \{4,5,7,8\} $$

Conclusión/Respuesta final

El conjunto resultante es {4, 5, 7, 8}.