Página 111 - Libro de Matemática de Décimo Grado
Proposiciones, tablas de verdad y leyes de Morgan
Resolución Página 111 - Libro de Matemática de Décimo Grado
Datos para la resolución:
1. Recuerda que un condicional $$a \rightarrow b$$ sólo es falso cuando a es verdadero y b es falso.
2. Una conjunción $$x \land y$$ es verdadera únicamente cuando ambos componentes son verdaderos.
3. Tras llenar la tabla, observa si la última columna es:
- Siempre verdadera → tautología
- Siempre falsa → negación/contradicción
- Mixta → contingencia
Explicación
Análisis del problema: Necesitamos evaluar la proposición $$(p \rightarrow q) \land (q \rightarrow r)$$ para todos los valores posibles de p, q, r y determinar su clasificación lógica.
Paso 1: Recordar equivalencias.
- $$p \rightarrow q \equiv \neg p \lor q$$
- $$q \rightarrow r \equiv \neg q \lor r$$
Paso 2: Construir la tabla.
| p | q | r | p → q | q → r | (p → q) ∧ (q → r) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | F | F |
| T | F | T | F | T | F |
| T | F | F | F | T | F |
| F | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | F |
| F | F | T | T | T | T |
| F | F | F | T | T | T |
Paso 3: Clasificación. La columna final contiene tanto valores verdaderos como falsos. Por lo tanto, la proposición es una contingencia.
Conclusión: (p → q) ∧ (q → r) es contingente.
Datos para la resolución:
1. Para una equivalencia $$a \leftrightarrow b$$, el resultado es verdadero si ambos valores coinciden.
2. El condicional $$x \rightarrow y$$ sólo falla cuando x es verdadero y y es falso.
3. Al revisar la última columna identifica su patrón: siempre V (tautología), siempre F (negación) o mezcla (contingencia).
Explicación
Análisis del problema: Evaluar $$\neg r \rightarrow (p \leftrightarrow \neg q)$$.
Paso 1: Definir los subcomponentes.
- $$\neg r$$: negación de r
- $$\neg q$$: negación de q
- $$p \leftrightarrow \neg q$$: verdadero cuando p y $$\neg q$$ tienen el mismo valor
Paso 2: Construcción de la tabla.
| p | q | r | ¬r | ¬q | p ↔ ¬q | ¬r → (p ↔ ¬q) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F | F | T |
| T | T | F | T | F | F | F |
| T | F | T | F | T | T | T |
| T | F | F | T | T | T | T |
| F | T | T | F | F | T | T |
| F | T | F | T | F | T | T |
| F | F | T | F | T | F | T |
| F | F | F | T | T | F | F |
Paso 3: Clasificación. La proposición devuelve T y F; por tanto es una contingencia.
Conclusión: ¬r → (p ↔ ¬q) es contingente.
Datos para la resolución:
1. Antes de armar la tabla intenta simplificar usando leyes lógicas (absorción, distribución, etc.).
2. En la disyunción $$x \lor x$$ el resultado sigue siendo x.
3. Una conjunción $$p \land q$$ sólo es verdadera cuando ambas proposiciones lo son.
Explicación
Análisis del problema: Evaluar $$[(p \land q) \lor ((\neg p \land q) \lor q)] \land p$$.
Paso 1: Simplificación lógica (opcional).
Observemos la parte interna:
$$(p \land q) \lor ((\neg p \land q) \lor q)$$
- $$(p \land q) \lor (\neg p \land q) = q \land (p \lor \neg p) = q$$
- Luego: $$q \lor q = q$$
Por lo tanto la proposición se reduce a $$q \land p$$.
Paso 2: Tabla de verdad (solo p y q son relevantes).
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
Paso 3: Clasificación. Hay filas verdaderas y falsas → contingencia.
Conclusión: [(p ∧ q) ∨ ((¬p ∧ q) ∨ q)] ∧ p es contingente.
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4. Elabora las tablas de verdad de las siguientes proposiciones e identifica las que sean contingencia, tautología o negación.
- a) $$(p \rightarrow q) \land (q \rightarrow r)$$
- b) $$\sim r \rightarrow (p \leftrightarrow \sim q)$$
- c) $$[(p \land q) \lor ((\sim p \land q) \lor q)] \land p$$