Página 112 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Recuerda que negar una proposición compuesta implica negar la relación completa (triste porque vive lejos), no solo una de sus partes.
Algunas estrategias:

• Anteponer expresiones como “No es cierto que…”, “Es falso que…”.
• Aplicar De Morgan cuando sea necesario: negar “A y B” equivale a “No A o No B”.
• Cuidar la redacción para que la negación resulte lógica y gramaticalmente correcta.

Análisis de la proposición original
La proposición afirma dos ideas relacionadas por una causa:

• P₁: Segundo está triste.
• P₂: Segundo vive lejos de su familia.

Se expresa como: $$P = (\text{Segundo está triste}) \;\textbf{porque}\; (\text{vive lejos de su familia})$$
Negar la proposición significa afirmar que no es cierto que la tristeza de Segundo se deba a vivir lejos de su familia.

Tres posibles formas de escribir la negación

1. No es cierto que Segundo esté triste porque vive lejos de su familia.
2. Es falso que la causa de la tristeza de Segundo sea que vive lejos de su familia.
3. Segundo no está triste o no vive lejos de su familia (o ambas cosas).

Conclusión
Cualquiera de las tres redacciones anteriores expresa la negación solicitada.

Para traducir un circuito a lógica proposicional:

• Serie → conjunción ($$\land$$). Todos los interruptores deben cerrarse.
• Paralelo → disyunción ($$\lor$$). Basta con que se cierre una rama.
• La negación de una variable ($$\neg p$$) se interpreta como “el interruptor está cerrado si no se cumple p”.

Identifica primero las ramas, decide si están en serie o en paralelo y traduce paso a paso.

Análisis del circuito

El gráfico muestra dos ramas en paralelo (arriba y abajo) que conectan el lado izquierdo con el derecho:

• Rama superior (serie): contiene los interruptores $$\neg p$$ y $$q$$.
  Al estar en serie, la rama se cierra si ambos están cerrados → $$\neg p \land q$$.
• Rama inferior (serie): contiene los interruptores $$p$$ y $$\neg q$$.
  Al estar en serie, la rama se cierra si ambos están cerrados → $$p \land \neg q$$.

Las dos ramas están en paralelo, por lo que el circuito general se cierra si se cierra al menos una de ellas → disyunción (OR).

Proposición compuesta

$$\big(\neg p \land q\big) \lor \big(p \land \neg q\big)$$

Respuesta final
La proposición del circuito es:
$$\boxed{(\neg p \land q) \lor (p \land \neg q)}$$

Para simplificar una proposición booleana puedes:

• Buscar patrones conocidos (por ejemplo, la forma de XOR).
• Aplicar leyes de De Morgan: $$\neg(A \land B) = \neg A \lor \neg B$$.
• Usar propiedades distributivas:
  $$A \land (B \lor C) = (A \land B) \lor (A \land C)$$.
• Sustituir identidades: $$A \lor \neg A = 1$$, $$A \land 1 = A$$, $$A \land 0 = 0$$.

Intenta reescribir la expresión paso a paso y observa si aparece la estructura típica de una disyunción exclusiva.

Proposición original
$$F = (\neg p \land q) \lor (p \land \neg q)$$

Resolución paso a paso

1. Observación: La expresión tiene la forma clásica de disyunción exclusiva (XOR) entre p y q.
2. Aplicamos propiedades algebraicas para obtener otra forma equivalente:

\begin{aligned}F &= (\neg p \land q) \lor (p \land \neg q)\\[4pt] &= \big[(\neg p \land q) \lor (p \land q)\big] \land \big[(\neg p \land q) \lor (p \land \neg q)\big]\\[4pt] &= (q \land (\neg p \lor p)) \land \big[(\neg p \land q) \lor (p \land \neg q)\big]\\[4pt] &= q \land \big[(\neg p \land q) \lor (p \land \neg q)\big]\quad (\neg p \lor p = 1)\\[4pt] \end{aligned}

Esta vía es correcta pero algo extensa. Una forma reconocida y más simple es:

$$F = (p \lor q) \land \neg(p \land q)$$

Otra notación compacta:
$$F = p \oplus q$$ (XOR exclusivo).

Conclusión / Respuesta final
La proposición simplificada puede expresarse como:
$$\boxed{(p \lor q) \land \neg(p \land q)}$$ o, de forma aún más breve, $$p \oplus q$$.