Página 115 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Para diferenciar estos conceptos, pregúntate:

• ¿Podría superponer una figura sobre la otra y que coincidan exactamente? Si la respuesta es sí, son congruentes.
• Si al escalar (agrandar o reducir) una figura todos sus lados quedan proporcionales y los ángulos iguales a la otra, entonces son semejantes.

Recuerda:
• Congruencia ⇨ copias exactas.
• Semejanza ⇨ copias “a escala”.

Análisis de la pregunta: Se solicita distinguir entre dos conceptos geométricos que, aunque relacionados, no son equivalentes.

Explicación paso a paso:

1. Definición de congruencia: Dos figuras son congruentes si coinciden exactamente al superponerlas. Es decir, tienen la misma forma y el mismo tamaño. Sus lados correspondientes son iguales y sus ángulos correspondientes también son iguales.
2. Definición de semejanza: Dos figuras son semejantes si mantienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño. Para que esto ocurra, se debe cumplir:
   • Todos los ángulos correspondientes son iguales.
   • Los lados correspondientes son proporcionales; es decir, existe un factor de escala $$k$$ tal que cada lado de una figura es $$k$$ veces el lado correspondiente de la otra.
3. Diferencia esencial:
   • En la congruencia, el factor de escala es $$k = 1$$; no hay cambio de tamaño.
   • En la semejanza, el factor de escala puede ser cualquier número positivo distinto de 1 ($$k \neq 1$$), lo que implica un agrandamiento ($$k > 1$$) o una reducción ($$0 < k < 1$$).

Conclusión / Respuesta final: Las figuras congruentes coinciden en forma y tamaño, mientras que las figuras semejantes coinciden solo en forma; sus tamaños difieren en una razón constante (factor de escala).

Para hallar el factor de escala (k):

1. Elige cualquier par de lados correspondientes que sean directos de medir.
2. Cuenta los cuadritos entre los dos vértices de ese lado en la figura pequeña y en la grande.
3. Aplícalo en la fórmula $$k = \dfrac{\text{longitud grande}}{\text{longitud pequeña}}$$.

Asegúrate de:
• Usar los mismos lados o lados correspondientes.
• Verificar tu resultado con otro lado o incluso con diagonales para confirmar la uniformidad de k.

Análisis del problema: Se presentan dos pentágonos homotéticos (uno pequeño y uno grande) sobre una misma cuadrícula. Debemos hallar el factor de escala $$k$$ que transforma el pentágono pequeño en el grande.

Resolución paso a paso:

1. Seleccionar lados correspondientes. Utilizamos el lado ED de cada pentágono porque es horizontal y fácil de medir en la cuadrícula.
2. Medición en la cuadrícula:
   • Pentágono pequeño: $$|\overline{ED}|_{\text{pequeño}} = 4\text{ unidades de cuadrícula}$$
   • Pentágono grande : $$|\overline{ED}|_{\text{grande}} = 8\text{ unidades de cuadrícula}$$
3. Cálculo del factor de escala (k):
   $$k = \frac{|\overline{ED}|_{\text{grande}}}{|\overline{ED}|_{\text{pequeño}}}=\frac{8}{4}=2$$
4. Verificación (opcional): Mide otro lado —por ejemplo AB— para confirmar la proporción y constatar que se mantiene el mismo $$k$$.

Conclusión / Respuesta final: El factor de escala que lleva el pentágono pequeño al grande es $$k = 2$$.

Recomendaciones para tu construcción:

• Usa la cuadrícula para medir con precisión en unidades enteras o fracciones de unidad.
• Dibuja primero una versión reducida de un solo lado y transporta los ángulos con un transportador para que la figura conserve la forma.
• Comprueba la proporcionalidad midiendo dos o tres lados: la razón siempre debe ser 0,5.
• Si lo prefieres, también puedes usar el método de homotecia: elige un centro $$O$$, une $$O$$ con cada vértice del pentágono original y marca sobre cada segmento la mitad de la distancia.

Análisis de la actividad: Debes construir un pentágono que sea una reducción exacta a la mitad (factor 0,5) del pentágono original ABCDE.

Procedimiento paso a paso:

1. Medir los lados del pentágono original. Por ejemplo, si $$|\overline{AB}| = 7\text{ unidades}$$, $$|\overline{BC}| = 7\text{ unidades}$$, etc.
2. Multiplicar cada medida por 0,5.
   • $$|\overline{AB}'| = 7 \times 0,5 = 3{,}5\text{ unidades}$$
   • Repite para los demás lados.
3. Trazar el nuevo pentágono.
   • Elige un punto de partida en la cuadrícula.
   • Traza el primer lado con la longitud reducida.
   • Utiliza el transportador para copiar cada ángulo correspondiente del pentágono original.
   • Continúa sucesivamente hasta cerrar la figura.
4. Verificación:
   • Todos los ángulos deben coincidir con los del original.
   • La proporción entre cualquier par de lados del original y del nuevo debe ser $$\dfrac{1}{2}$$.

Conclusión / Respuesta final: El pentágono semejante resultante tiene todos sus lados y diagonales con la mitad de longitud del pentágono original y conserva exactamente sus mismos ángulos.