Página 116 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Pista: Una relación binaria desde A hacia B es cualquier subconjunto de $$A\times B$$. Para la relación “menor que”, solo debes mantener los pares en los que el primer elemento es estrictamente menor que el segundo. Anota primero todos los pares posibles y luego elimina los que no cumplan $$a<b$$.

Recuerda:
$$A\times B = \{(a,b)\mid a\in A,\, b\in B\}$$

Análisis del problema
Se pide construir la relación "menor que" (<) entre dos conjuntos finitos A y B. Esto significa listar todos los pares ordenados $$(a,b)$$ tales que $$a\in A$$, $$b\in B$$ y $$a<b$$.

Resolución paso a paso

1. Escribimos los conjuntos:
   $$A=\{2,3\}$$, $$B=\{1,4,5\}$$.
2. Formamos el producto cartesiano $$A\times B$$:
   $$(2,1),(2,4),(2,5),(3,1),(3,4),(3,5)$$.
3. Aplicamos la condición $$a<b$$:
   
   • (2,1) ⇒ 2<1 es falso, se descarta.
   • (2,4) ⇒ 2<4 es verdadero, se conserva.
   • (2,5) ⇒ 2<5 es verdadero, se conserva.
   • (3,1) ⇒ 3<1 es falso, se descarta.
   • (3,4) ⇒ 3<4 es verdadero, se conserva.
   • (3,5) ⇒ 3<5 es verdadero, se conserva.

Conclusión / Respuesta final
La relación “menor que” definida de A en B es:
$$R=\{(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)\}$$

Pista: Observa el centro de la figura y sigue un radio hacia afuera. Verás primero un triángulo pequeño, luego uno mediano y finalmente uno grande que llegan al borde del círculo. Mide mentalmente los ángulos o compara las inclinaciones de los lados para notar que la forma se mantiene y solo cambia el tamaño (criterio de semejanza AA).

Para corroborar:

• Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, automáticamente el tercero también es igual y los triángulos son semejantes.
• Al superponer un triángulo pequeño sobre uno grande notarás que los vértices coinciden en dirección, confirmando la misma forma geométrica.

Análisis de la actividad
La figura es un mandala circular con simetría de 8 radios que contiene 24 triángulos de tres tamaños diferentes. La semejanza se basa en la conservación de sus ángulos y la proporción de sus lados.

Identificación de grupos semejantes

1. Grupo A – Triángulos grandes: Son los 8 triángulos isósceles principales que parten desde el centro hacia el contorno exterior. Todos comparten ángulos y proporciones, por lo que forman un primer conjunto de triángulos semejantes.
2. Grupo B – Triángulos medianos: Entre los grandes y el borde exterior hay 8 triángulos de tamaño medio orientados en la misma dirección que los grandes. Mantienen los mismos ángulos que los del Grupo A pero su lado más largo es aproximadamente la mitad.
3. Grupo C – Triángulos pequeños: Cercanos a la zona central se observan 8 triángulos pequeños que también mantienen la forma isósceles y la misma proporción de lados que los dos grupos anteriores, por lo que son semejantes entre sí y con los otros grupos.

Conclusión / Respuesta sugerida
Colorea:

• Los 8 triángulos grandes (Grupo A) de un mismo color.
• Los 8 triángulos medianos (Grupo B) de un segundo color.
• Los 8 triángulos pequeños (Grupo C) de un tercer color.