Página 118 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Recuerda que las bisectrices son los segmentos que dividen a cada ángulo en dos partes iguales. Todas se cortan en un punto único (el incentro). Usa una regla y compás:

• Para trazar una bisectriz: con centro en el vértice toma cualquier radio y haz arcos que corten los lados; luego, con esos cortes como centros, traza dos arcos que se intersecten dentro del ángulo y une el vértice con la intersección.
• Verifica que la perpendicular desde el incentro al lado elegido sea exactamente el radio; mide lo mismo hasta los tres lados.

Si te equivocas en la precisión del compás, el círculo no quedará tangente a los tres lados.

Análisis del problema
Se pide explicar el procedimiento para trazar la circunferencia inscrita (incírculo) de un triángulo, es decir, el círculo que es tangente a los tres lados.

Resolución paso a paso

1. Dibujo de las bisectrices interiores
   Para cada vértice del triángulo, se traza la bisectriz del ángulo interno. Las bisectrices dividen cada ángulo en dos partes iguales.
2. Determinación del incentro
   Las tres bisectrices se intersectan en un punto común. Este punto se llama incentro y es equidistante de los tres lados del triángulo.
3. Trazado del radio
   Desde el incentro se traza una perpendicular a cualquiera de los lados del triángulo. La longitud de esa perpendicular es el radio $$r$$ de la circunferencia inscrita.
4. Dibujo de la circunferencia
   Con centro en el incentro y radio $$r$$, se traza la circunferencia. Esta será tangente a los tres lados del triángulo.

Conclusión/Respuesta final
Para trazar la circunferencia interna se construyen las tres bisectrices de los ángulos, su punto de intersección es el incentro, y desde él se toma como radio la distancia perpendicular a un lado; con ese radio se dibuja la circunferencia inscrita.

Ten en cuenta:

• Bisectriz: divide un ángulo en dos ángulos iguales.
• Mediana: segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
• Altura: segmento perpendicular desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

Herramientas: regla, compás y escuadra. Marca suavemente las líneas auxiliares (bisectrices, medianas, alturas) y resalta solo el punto de intersección final.

Análisis del problema
Debes localizar tres centros notables en tres triángulos distintos: incentro, baricentro y ortocentro, usando construcciones geométricas básicas.

Resolución paso a paso

1. a) Incentro
   
   • Traza las bisectrices de los tres ángulos interiores del triángulo ABC.
   • El punto de intersección de las bisectrices es el incentro.
2. b) Baricentro
   
   • Para cada lado, localiza su punto medio.
   • Une cada vértice con el punto medio del lado opuesto; estos segmentos son las medianas.
   • Las tres medianas se cortan en un punto común, llamado baricentro o centro de gravedad.
3. c) Ortocentro
   
   • Desde cada vértice, traza una línea recta perpendicular (altura) al lado opuesto o a su prolongación.
   • Las tres alturas se intersectan en un punto único llamado ortocentro.

Conclusión/Respuesta final
Al aplicar las construcciones mencionadas obtendrás: (a) el incentro en el punto de intersección de las bisectrices, (b) el baricentro en el punto donde se cruzan las medianas y (c) el ortocentro en la intersección de las alturas.