Página 119 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Pista: Reflexiona sobre estas ideas antes de responder:

• Un mapa es una representación proporcional reducida. Para reducir algo muy grande a un formato pequeño se necesita una relación constante entre la medida en el mapa y la medida real: eso es la escala.
• Imagina el mapa de tu país y, luego, un plano de tu barrio. ¿Podrían ambos usar la misma escala y caber en una hoja A4? ¿Qué cambiaría si usamos escalas distintas?
• Piensa en quién usará el mapa: un turista, un arquitecto, un piloto. Cada uno necesita diferente nivel de detalle.

Análisis de la pregunta: Un mapa representa superficies muy grandes (ciudades, países, continentes) sobre un soporte pequeño (papel o pantalla). Para lograr esto debe reducirse proporcionalmente el tamaño real mediante una escala.

Explicación detallada:

• Al variar la escala se controla cuánta información cabe y qué tan detallada se muestra. Una escala pequeña (por ejemplo 1 : 1 000 000) permite mostrar regiones extensas, pero con pocos detalles; una escala grande (por ejemplo 1 : 5 000) permite mostrar detalles de calles, edificios o parcelas.
• Los cartógrafos escogen la escala según el uso del mapa: navegación aérea, planificación urbana, turismo, estudios geológicos, etc.
• La escala facilita las mediciones indirectas: al conocer la relación entre la distancia en el mapa y la distancia real, se pueden estimar longitudes y áreas sin visitar el terreno.

Conclusión / Respuesta final: Los mapas se presentan a diferentes escalas para representar áreas grandes en espacios manejables, ajustar el nivel de detalle y permitir mediciones precisas de acuerdo con la finalidad del mapa.

Pista:

• Un factor de escala de $$\frac{1}{2}$$ significa que cada dimensión del dibujo reducido es la mitad de la dimensión original (o, al revés, que el original es el doble del dibujo).
• Recuerda que el área de un rectángulo es $$A = \text{largo} \times \text{ancho}$$.
• Tras encontrar el área de ambos rectángulos, divide el área grande entre el área pequeña para saber cuántas veces cabe.
• Si te resulta más fácil, dibuja un esquema a escala en papel cuadriculado para visualizar cómo se acomodan los rectángulos pequeños.

1. Análisis del problema: El factor de escala es $$\frac{1}{2}$$. El rectángulo pequeño (4 cm × 2 cm) es la mitad de cada dimensión del rectángulo grande.

2. Resolución paso a paso:

1. Determinar las dimensiones del rectángulo grande.
   Si el factor de escala es $$\frac{1}{2}$$, entonces
   $$\text{Lado grande}=\frac{\text{Lado pequeño}}{\frac{1}{2}}=\text{Lado pequeño}\times 2$$
   • Largo grande = 4 cm × 2 = 8 cm.
   • Ancho grande = 2 cm × 2 = 4 cm.
2. Calcular el área de cada rectángulo.
   Área pequeño: $$A_p = 4\,\text{cm} \times 2\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^2$$
   Área grande: $$A_g = 8\,\text{cm} \times 4\,\text{cm} = 32\,\text{cm}^2$$
3. Encontrar cuántos rectángulos pequeños cubren al grande.
   $$n = \frac{A_g}{A_p} = \frac{32}{8} = 4$$

3. Conclusión / Respuesta final: Se necesitan 4 rectángulos pequeños para cubrir por completo la superficie del rectángulo grande.