Página 120 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Selecciona un mismo segmento en las tres figuras (por ejemplo el lado superior más largo) y cuenta cuántos cuadritos mide en cada una. Divide la medida de A y la de C entre la de B. Ese cociente es el factor de escala.

Análisis del problema: Se trata de tres figuras geométricamente semejantes. Una de ellas (B) está en “escala natural” (factor 1). Al comparar sobre la misma cuadrícula las longitudes correspondientes de A y C con las de B se determina el factor de escala.

Resolución paso a paso:

1. Cuento cuántos cuadritos mide, por ejemplo, uno de los lados horizontales más largos de cada figura.
   • Figura A: 4 cuadritos.
   • Figura B: 8 cuadritos.
   • Figura C: 16 cuadritos.
2. Divido cada medida entre la de B (porque B es la referencia):
   $$k_A = \frac{4}{8}=\frac{1}{2}=0{,}5$$
   $$k_C = \frac{16}{8}=2$$

Conclusión / Respuesta final:
• El factor de escala de la figura A respecto de la figura B es 0,5 (½).
• El factor de escala de la figura C respecto de la figura B es 2.

Recorre con el lápiz todo el borde de cada figura y cuenta cuántos lados de un cuadrito (segmentos) has ido tocando. Cada segmento vale 1 unidad de longitud.

Análisis del problema: El perímetro es la suma de todos los lados. Como las figuras están formadas por cuadritos de 1 u de lado, basta contar cuántos segmentos de cuadrícula forman el contorno.

Resolución paso a paso:

1. Figura A: Se cuentan 20 segmentos de cuadrícula.
   $$P_A = 20\;\text{u}$$
2. Figura B: El contorno tiene el doble de segmentos que en A (factor 2):
   $$P_B = 2\,P_A = 2\times20 = 40\;\text{u}$$
3. Figura C: El contorno es 2 veces el de B (o 4 veces el de A):
   $$P_C = 2\,P_B = 2\times40 = 80\;\text{u}$$

Conclusión / Respuesta final:
• P(A) = 20 u
• P(B) = 40 u
• P(C) = 80 u

Divide el perímetro de cada figura entre el de B. Si obtienes exactamente los factores hallados en b.1) (0,5 y 2) se cumple la propiedad de semejanza.

Análisis del problema: Comprobamos si la relación entre los perímetros reproduce el mismo factor de escala que entre las longitudes.

Resolución paso a paso:

1. Cociente perímetros A / B: $$\dfrac{P_A}{P_B}=\dfrac{20}{40}=\tfrac12=0{,}5$$ (igual a k_A).
2. Cociente perímetros C / B: $$\dfrac{P_C}{P_B}=\dfrac{80}{40}=2$$ (igual a k_C).

Conclusión / Respuesta final: Sí. El perímetro varía en la misma proporción (factor de escala) que las longitudes lineales de las figuras semejantes.

Pinta la figura con colores y ve tachando los cuadritos que vas contando. Después aplica la propiedad de los factores de escala: si los lados se multiplican por k, el área se multiplica por k².

Análisis del problema: El área equivale al número de cuadritos completos (de 1 u²) que cubren la figura.

Resolución paso a paso:

1. Figura A: Se cuentan 10 cuadritos.
   $$A_A = 10\;\text{u}^2$$
2. Figura B: Cada lado es 2 veces más largo que en A, por lo que el área se multiplica por $$2^2=4$$:
   $$A_B = 4\,A_A = 4\times10 = 40\;\text{u}^2$$
3. Figura C: Cada lado es 2 veces más largo que en B (o 4 veces que en A). El factor de escala total respecto de A es 4, así que el área se multiplica por $$4^2 =16$$:
   $$A_C = 16\,A_A = 16\times10 = 160\;\text{u}^2$$

Conclusión / Respuesta final:
• A(A) = 10 u²
• A(B) = 40 u²
• A(C) = 160 u²

Recuerda la relación general: $$\dfrac{A_1}{A_2}=k^2$$, donde k es el factor de escala entre sus lados. Comprueba que tus cocientes coincidan con ese valor.

Análisis del problema: Debemos verificar si los cocientes de áreas reproducen el cuadrado del factor de escala.

Resolución paso a paso:

1. $$\dfrac{A_A}{A_B}=\dfrac{10}{40}=\tfrac14=0{,}25$$. Esto es $$k_A^2=(0{,}5)^2=0{,}25$$.
2. $$\dfrac{A_C}{A_B}=\dfrac{160}{40}=4$$. Esto es $$k_C^2=2^2=4$$.

Conclusión / Respuesta final: Sí. El área de figuras semejantes varía con el cuadrado del factor de escala.