Página 126 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Recuerda:
• Intersección (∩): elementos comunes.
• Complemento: todos los elementos del universo que NO están en el conjunto.
• Unión (∪): todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos.
Trabaja paso a paso: primero la intersección, luego el complemento y al final la unión.

Análisis:
Debemos calcular la operación de conjuntos $$(A\cap C{)}^c\cup B$$ dentro del universo dado $$U$$.

1. Intersección A ∩ C
   • A = {0, 2, 4, 5, 6, 7, 8}
   • C = {2}
   Por lo tanto, $$A\cap C=\{2\}$$.
2. Complemento (A ∩ C)^c
   El complemento se toma respecto de U:
   $$(A\cap C{)}^c=U\setminus \{2\}=\{0,4,5,6,7,8,9,11,12,24\}$$
3. Unión con B
   B = {0, 4, 5, 7, 8}
   $$(A\cap C{)}^c\cup B=\{0,4,5,6,7,8,9,11,12,24\}$$

Conclusión:
El conjunto resultante es $$\boxed{{\displaystyle \{0,4,5,6,7,8,9,11,12,24\}}}$$.

Pasos sugeridos:
1. Lista todas las combinaciones posibles de p, q y r (2³ = 8 filas).
2. Calcula negaciones (¬r y ¬q) fila por fila.
3. Evalúa la bicondicional $$p\leftrightarrow \mathrm{\neg }q$$ (es verdadera cuando ambos lados tienen el mismo valor).
4. Finalmente aplica la condicional $$\mathrm{\neg }r\to (p\leftrightarrow \mathrm{\neg }q)$$; recuerda que solo es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso.
5. Clasifica: si todos los valores son T es tautología; si todos F, contradicción; combinación de T y F indica contingencia.

Análisis:
La proposición involucra tres variables lógicas (p, q, r). Construiremos la tabla de verdad completa (8 filas) y luego clasificaremos el resultado.

Resolución paso a paso:

1. Se calcula ¬r y ¬q para cada fila.
2. Se evalúa la bicondicional $$p\leftrightarrow \mathrm{\neg }q$$.
3. Se aplica la condicional $$\mathrm{\neg }r\to (p\leftrightarrow \mathrm{\neg }q)$$.

Conclusión/Respuesta final:
La columna final contiene valores verdaderos y falsos (6 T y 2 F). Por tanto, la proposición es una contingencia.

Para un triángulo siempre aplica la fórmula:
$$A=\frac{1}{2}bh$$
• b: base del triángulo.
• h: altura (perpendicular a la base).
Observa en la figura que el triángulo toca A y D, por lo que AD es la base completa. El vértice superior llega hasta el borde superior del rectángulo, así que la altura coincide con la altura del rectángulo.

Análisis:
El triángulo amarillo tiene como base el lado AD del rectángulo (8 cm) y como altura la distancia vertical hasta su vértice superior (5 cm).

Resolución paso a paso:

1. Identificación de la base.
   AD mide 8 cm.
2. Identificación de la altura.
   El vértice superior del triángulo se encuentra sobre el lado BC, así que la altura es la altura del rectángulo: 5 cm.
3. Cálculo del área.
   $$\text{Área}=\frac{1}{2}\times \text{base}\times \text{altura}=\frac{1}{2}\times 8\text{cm}\times 5\text{cm}=20{\text{cm}}^2$$

Conclusión/Respuesta final:
El área de la región amarilla es 20 cm².