Página 126 - Libro de Matemática de Décimo Grado
Escalas y simetrías
Resolución Página 126 - Libro de Matemática de Décimo Grado
Datos para la resolución:
Recuerda:
• Intersección (∩): elementos comunes.
• Complemento: todos los elementos del universo que NO están en el conjunto.
• Unión (∪): todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos.
Trabaja paso a paso: primero la intersección, luego el complemento y al final la unión.
Explicación
Análisis:
Debemos calcular la operación de conjuntos $$(A \cap C)^c \cup B$$ dentro del universo dado $$U$$.
- Intersección A ∩ C
• A = {0, 2, 4, 5, 6, 7, 8}
• C = {2}
Por lo tanto, $$A \cap C = \{2\}$$. - Complemento (A ∩ C)c
El complemento se toma respecto de U:
$$(A \cap C)^c = U \setminus \{2\} = \{0,4,5,6,7,8,9,11,12,24\}$$ - Unión con B
B = {0, 4, 5, 7, 8}
$$(A \cap C)^c \cup B = \{0,4,5,6,7,8,9,11,12,24\}$$
Conclusión:
El conjunto resultante es $$\boxed{\{0,4,5,6,7,8,9,11,12,24\}}$$.
Datos para la resolución:
Pasos sugeridos:
1. Lista todas las combinaciones posibles de p, q y r (2³ = 8 filas).
2. Calcula negaciones (¬r y ¬q) fila por fila.
3. Evalúa la bicondicional $$p \leftrightarrow \lnot q$$ (es verdadera cuando ambos lados tienen el mismo valor).
4. Finalmente aplica la condicional $$\lnot r \rightarrow (p \leftrightarrow \lnot q)$$; recuerda que solo es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso.
5. Clasifica: si todos los valores son T es tautología; si todos F, contradicción; combinación de T y F indica contingencia.
Explicación
Análisis:
La proposición involucra tres variables lógicas (p, q, r). Construiremos la tabla de verdad completa (8 filas) y luego clasificaremos el resultado.
| p | q | r | ¬r | ¬q | p ↔ ¬q | ¬r → (p ↔ ¬q) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F | F | T |
| T | T | F | T | F | F | F |
| T | F | T | F | T | T | T |
| T | F | F | T | T | T | T |
| F | T | T | F | F | T | T |
| F | T | F | T | F | T | T |
| F | F | T | F | T | F | T |
| F | F | F | T | T | F | F |
Resolución paso a paso:
- Se calcula ¬r y ¬q para cada fila.
- Se evalúa la bicondicional $$p \leftrightarrow \lnot q$$.
- Se aplica la condicional $$\lnot r \rightarrow (p \leftrightarrow \lnot q)$$.
Conclusión/Respuesta final:
La columna final contiene valores verdaderos y falsos (6 T y 2 F). Por tanto, la proposición es una contingencia.
Datos para la resolución:
Para un triángulo siempre aplica la fórmula:
$$A=\frac{1}{2}bh$$
• b: base del triángulo.
• h: altura (perpendicular a la base).
Observa en la figura que el triángulo toca A y D, por lo que AD es la base completa. El vértice superior llega hasta el borde superior del rectángulo, así que la altura coincide con la altura del rectángulo.
Explicación
Análisis:
El triángulo amarillo tiene como base el lado AD del rectángulo (8 cm) y como altura la distancia vertical hasta su vértice superior (5 cm).
Resolución paso a paso:
- Identificación de la base.
AD mide 8 cm. - Identificación de la altura.
El vértice superior del triángulo se encuentra sobre el lado BC, así que la altura es la altura del rectángulo: 5 cm. - Cálculo del área.
$$\text{Área}=\frac{1}{2}\times \text{base}\times \text{altura}=\frac{1}{2}\times 8\,\text{cm}\times 5\,\text{cm}=20\,\text{cm}^2$$
Conclusión/Respuesta final:
El área de la región amarilla es 20 cm².
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5. Sean los conjuntos.
$$U = \{0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 24\}$$
$$A = \{x \in \mathbb{N} \; ; \; x < 9\}$$
$$C = \{x \in \mathbb{N} \; ; \; 1 < x < 4\}$$
$$B = \{0, 4, 5, 7, 8\}$$
Determino
$$(A \cap C)^{c} \cup B$$
6. Elabora la tabla de verdad de la siguiente proposición e identifica si es una tautología, contradicción o contingencia.
$$\lnot r \to (p \leftrightarrow \lnot q)$$
7. ¿Cuál es el área de la región de amarillo?
[Ilustración: rectángulo ABCD de 5 cm × 8 cm con triángulo amarillo inscrito]
$$AB = 5 \text{\,cm},\; AD = 8 \text{\,cm}$$
https://uapi.edu/j5c9f