Página 125 - Libro de Matemática de Décimo Grado

• Traza primero los ejes y etiqueta las unidades con claridad.
• Usa una regla para marcar con exactitud las coordenadas.
• Al unir los puntos, observa si el trazo es recto o si cambia de pendiente; eso te mostrará la forma de la función.
• Verifica que cada punto quede en la intersección correcta para evitar errores de lectura del gráfico.

Análisis del problema
Se proporcionan los pares ordenados:

• (−2 , −5)
• (−1 , −1)
• (0 , 1)
• (1 , 5)
• (2 , 7)
• (3 , 9)

Resolución paso a paso

1. Dibuja un plano cartesiano con ejes x y y, marcando la escala de 1 en 1.
2. Ubica cada punto:
   (−2,−5) se encuentra 2 unidades a la izquierda del origen y 5 unidades abajo.
   (−1,−1) se ubica 1 unidad a la izquierda del origen y 1 unidad abajo.
   (0,1) está sobre el eje y a 1 unidad arriba del origen.
   (1,5) se ubica 1 unidad a la derecha y 5 unidades arriba.
   (2,7) se ubica 2 unidades a la derecha y 7 unidades arriba.
   (3,9) se ubica 3 unidades a la derecha y 9 unidades arriba.
3. Une los puntos respetando el orden de las x; se obtiene una curva suavemente creciente.

Conclusión/Respuesta final
La gráfica es una curva creciente que pasa por los seis puntos indicados; no es una recta perfecta, sino una función cuyo ritmo de crecimiento varía entre los distintos intervalos.

1. Recuerda que el dominio son todos los valores de x que no provocan divisiones entre cero.
2. Para hallar extremos, deriva y busca dónde la derivada vale cero.
3. Clasifica cada punto crítico usando la prueba de la primera derivada:
• Si $$f'$$ cambia de − a +, hay mínimo.
• Si cambia de + a −, hay máximo.
4. Para el recorrido, estudia los límites:
$$\lim_{x\to0^{-}}f(x)\,,\;\lim_{x\to0^{+}}f(x)$$ y
$$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)$$.
5. Dibuja una recta numérica y marca los intervalos donde $$f'(x)>0$$ (creciente) y $$f'(x)<0$$ (decreciente).

Análisis del problema
Debemos determinar dominio, recorrido, extremos y los intervalos donde la función es creciente o decreciente.

Resolución paso a paso

1. Dominio
   La expresión contiene el término $$\frac{36}{x}$$; por tanto, $$x\neq 0$$.
   Dominio: $$\mathbb{R}\setminus\{0\}$$.
2. Derivada para analizar extremos y monotonía
   $$f(x)=2x^{2}-3x+36x^{-1}$$
   $$f'(x)=4x-3-36x^{-2}$$
3. Puntos críticos
   Igualamos a cero: $$4x-3-\frac{36}{x^{2}}=0$$
   Multiplicamos por $$x^{2}$$ para eliminar el denominador:
   $$4x^{3}-3x^{2}-36=0$$
   Mediante ensayo-error o métodos numéricos se obtiene la raíz positiva aproximada $$x\approx 2{,}36$$. No existen raíces negativas (el polinomio permanece negativo para $$x<0$$), por lo que ese es el único punto crítico.
4. Tipo de extremo
   • Para $$0<x<2{,}36$$, $$f'(x)<0$$ (función decreciente).
   • Para $$x>2{,}36$$, $$f'(x)>0$$ (función creciente).
   Por tanto, en $$x\approx2{,}36$$ hay un mínimo local.
5. Valor mínimo
   $$f(2{,}36)\approx2(2{,}36)^{2}-3(2{,}36)+\frac{36}{2{,}36}\approx19{,}31$$
6. Monotonía
   • Creciente: $$(2{,}36,\infty)$$
   • Decreciente: $$(-\infty,0)\cup(0,2{,}36)$$
7. Recorrido (rango)
   Al acercarse a 0 por la izquierda, $$\frac{36}{x}\to-\infty$$; al acercarse a 0 por la derecha, $$\frac{36}{x}\to+\infty$$. Además, para $$|x|\to\infty$$, el término $$2x^{2}$$ tiende a $$+\infty$$.
   Por ello la función alcanza valores arbitrariamente grandes y pequeños, es decir:
   Recorrido: $$\mathbb{R}$$.

Conclusión/Respuesta final

• La regla de Cramer funciona cuando el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero.
• Para 2 × 2:
$$|A|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$
• Sustituye columna por columna para hallar $$|A_x|$$ y $$|A_y|$$.
• Mantén el orden de signos y comprueba al final llevando las soluciones al sistema original.

Análisis del problema
Aplicaremos la regla de Cramer para un sistema lineal 2 × 2.

Resolución paso a paso

1. Matriz de coeficientes: $$A=\begin{pmatrix}2&3\\2&-3\end{pmatrix}$$
2. Determinante de A:
   $$|A|=2(-3)-2(3)=-6-6=-12$$
3. Determinante para x ($$A_x$$): sustituimos la primera columna por los términos independientes:
   $$A_x=\begin{pmatrix}5&3\\7&-3\end{pmatrix}$$
   $$|A_x|=5(-3)-7(3)=-15-21=-36$$
4. Determinante para y ($$A_y$$): sustituimos la segunda columna:
   $$A_y=\begin{pmatrix}2&5\\2&7\end{pmatrix}$$
   $$|A_y|=2(7)-2(5)=14-10=4$$
5. Soluciones con Cramer:
   $$x=\dfrac{|A_x|}{|A|}=\dfrac{-36}{-12}=3$$
   $$y=\dfrac{|A_y|}{|A|}=\dfrac{4}{-12}=-\dfrac{1}{3}$$

Conclusión/Respuesta final
$$x=3\,,\;y=-\dfrac{1}{3}$$

• Asigna una letra distinta a cada incógnita.
• Observa qué elementos aparecen en cada diferencia de alturas.
• Si sumas las dos ecuaciones, los términos que representan las alturas de las aves se cancelan; de esa forma obtienes directamente la variable t (mesa).
• En muchos problemas de "sumas y diferencias" dos mediciones bastan para aislar la incógnita deseada.

Análisis del problema
Se observa dos escenas:
1. Un gallo sobre la mesa y una gallina en el suelo tienen una diferencia vertical de 170 cm.
2. Un gallo en el suelo y una gallina sobre la mesa tienen una diferencia vertical de 130 cm.
Queremos la altura de la mesa.

Planteamiento de variables
$$t$$: altura de la mesa.
$$g$$: altura del gallo.
$$h$$: altura de la gallina.

Construcción de ecuaciones

1. Situación 1 (gallo sobre la mesa, gallina en el suelo):
   $$t+g-h=170$$
2. Situación 2 (gallina sobre la mesa, gallo en el suelo):
   $$t+h-g=130$$

Resolución
Sumamos las ecuaciones:
$$(t+g-h)+(t+h-g)=170+130$$
$$2t=300$$
$$t=150\text{ cm}$$

Conclusión/Respuesta final
La mesa mide 150 cm de altura.