Página 124 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Recuerda las definiciones esenciales:

• Bisectriz: divide un ángulo en dos partes congruentes.
• Altura: segmento perpendicular a un lado que parte del vértice opuesto.
• Mediana: une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

Si trabajas sobre papel cuadriculado, usa regla y compás:
1. Para la bisectriz, abre el compás en un radio cómodo, marca dos arcos sobre los lados y luego dos arcos que se crucen; la recta que pasa por el vértice y la intersección de los arcos es la bisectriz.
2. Para la altura, coloca la regla formando 90° con el lado y traza la perpendicular desde el vértice.
3. Para la mediana, encuentra el punto medio con el compás (arcos simultáneos) y une con el vértice.

Análisis del problema: Se solicitan tres puntos notables de un triángulo: incentro (I), ortocentro (H) y baricentro (G).

Resolución paso a paso:

1. Incentro (I):
   • Traza las bisectrices (semirrectas que dividen cada ángulo en dos partes iguales).
   • El punto donde se intersectan es el incentro.
   • Desde I traza perpendiculares a cada lado para verificar que tiene igual distancia a los tres lados.
2. Ortócentro (H):
   • Traza las tres alturas (rectas perpendiculares a cada lado que pasan por el vértice opuesto).
   • El punto de intersección es el ortocentro.
3. Baricentro (G):
   • Traza las tres medianas (segmentos que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto).
   • El cruce de las medianas es el baricentro.

Conclusión/Respuesta final: Al realizar la construcción se obtienen los puntos I (incentro), H (ortocentro) y G (baricentro) correctamente ubicados dentro o fuera del triángulo según corresponda.

Antes de trazar:
• Marca claramente los puntos H y G.
• Usa una regla larga para asegurar que la recta sea extendida suficiente.
• Si ya tienes el circuncentro O, comprueba que también quede sobre la recta; será útil en el siguiente apartado.

Análisis del problema: Se debe trazar una recta que pase por los puntos H (ortocentro) y G (baricentro); el incentro I no pertenece a la línea clásica, pero puede estar incluido según la consigna.

Procedimiento:

1. Con regla, alinea el ortocentro H y el baricentro G.
2. Dibuja la recta con lápiz de color rojo prolongándola en ambas direcciones.
3. Verifica visualmente si el circuncentro (si ya ha sido construido) también queda sobre la misma línea.

Conclusión/Respuesta final: Obtendrás la línea de Euler, recta que contiene, al menos, al ortocentro H, al baricentro G y al circuncentro O.

Piensa en Leonhard Euler y su famoso resultado que conecta varios centros notables del triángulo en una sola recta.

Análisis: La recta pasa por los centros notables H (ortocentro), G (baricentro) y, en la mayoría de los triángulos, O (circuncentro).

Respuesta final: Esa recta se denomina línea de Euler.

Recuerda la propiedad clave de la línea de Euler:

$$H,\;G,\;O$$ son colineales y $$HG = 2\,GO$$. Usa un compás o regla graduada con precisión milimétrica para minimizar errores experimentales.

Si tu medida no sale exacta, verifica que tus construcciones de H, G y O estén correctas y que la regla esté alineada exactamente sobre la recta.

Análisis: Sobre la línea de Euler, la distancia entre H y G (ortocentro-baricentro) y entre G y O (baricentro-circuncentro) guardan una proporción constante.

Resolución paso a paso:

1. Con regla, mide la longitud $$HG$$.
2. Mide la longitud $$GO$$.
3. Calcula la razón $$\dfrac{HG}{GO}$$. Deberás obtener aproximadamente $$2$$.

Conclusión/Respuesta final: Se verifica que $$HG = 2\,GO$$; es decir, el baricentro G divide el segmento HO en una razón 2 : 1.
Esta propiedad sí se cumple para cualquier triángulo no degenerado; forma parte del teorema de Euler para los centros notables.