Página 130 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Recuerda que al trazar la altura en un triángulo equilátero obtienes dos triángulos rectos de 30°–60°–90°. Para esos triángulos se verifica:
$$h = \frac{\sqrt{3}}{2}\,a$$ donde a es la longitud del lado. También puedes usar Pitágoras si prefieres.

Análisis del problema: Se pide la longitud de la altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide 5 cm.

Resolución paso a paso:

1. En un triángulo equilátero todos los lados son iguales y sus ángulos internos miden 60°.
2. Al trazar la altura se forma dos triángulos rectángulos congruentes. Cada uno tiene:
   • Hipotenusa = 5 cm (el lado del triángulo equilátero).
   • Base = 2.5 cm (la mitad del lado).
   • Altura = h (incógnita).
3. Aplicamos el teorema de Pitágoras: $$5^2 = (2.5)^2 + h^2$$
4. Despejamos h:
   $$h^2 = 5^2 - 2.5^2 = 25 - 6.25 = 18.75$$
   $$h = \sqrt{18.75} = \frac{5\sqrt{3}}{2}\;\text{cm} \approx 4.33\;\text{cm}$$

Conclusión: La altura es aproximadamente 4.33 cm.

Para resolver un triángulo rectángulo puedes usar las razones trigonométricas:
$$\sin \theta = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}$$
$$\cos \theta = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}$$
$$\tan \theta = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}$$
1. Elige la razón que relacione el dato conocido con la incógnita que buscas.
2. Despeja la incógnita y sustituye los valores.
3. Verifica tus resultados con Pitágoras si lo deseas: $$c^{2}=a^{2}+b^{2}$$

Análisis del problema: Se trata de un triángulo rectángulo. Se conocen: un cateto (opuesto) de 8 cm y un ángulo agudo de 20° en la base izquierda. Se pide determinar las longitudes de los otros lados y los ángulos restantes.

Resolución paso a paso:

1. Denotemos:
   • Cateto opuesto al ángulo de 20°: $$a = 8\;\text{cm}$$
   • Hipotenusa: $$c$$
   • Cateto adyacente: $$b$$
2. Aplicamos razón seno:
   $$\sin 20^{\circ}=\frac{a}{c} \Rightarrow c = \frac{a}{\sin 20^{\circ}} = \frac{8}{0.3420} \approx 23.39\;\text{cm}$$
3. Aplicamos razón coseno para hallar el cateto adyacente:
   $$\cos 20^{\circ}=\frac{b}{c} \Rightarrow b = c \cos 20^{\circ} \approx 23.39\times 0.9397 \approx 21.97\;\text{cm}$$
4. Ángulos:
   • Ángulo dado = 20°.
   • Ángulo recto = 90°.
   • Tercer ángulo: $$180^{\circ} - 20^{\circ} - 90^{\circ} = 70^{\circ}$$

Conclusión:

• Hipotenusa ≈ 23.39 cm
• Cateto adyacente ≈ 21.97 cm
• Ángulos: 20°, 70° y 90°