Página 134 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Ubica cada persona en un sistema de ejes: el eje x (este-oeste) y el eje y (norte-sur).
Luego:

• Pasa de Alan a Kevin: 4 km hacia el oeste.
• De Kevin a Dylan: 6 km hacia el sur.
• De Dylan a Víctor: 4 km en una sola dirección (elige la que mantenga ortogonalidad para aplicar fácilmente Pitágoras).

Análisis del problema:
Las posiciones se describen sobre un plano horizontal (oeste–este) y vertical (norte–sur). La consigna sugiere aplicar el teorema de Pitágoras más de una vez.

Resolución paso a paso:

1. Ubicamos a Alan como origen del plano: A(0,0).
2. Posición de Kevin: 4 km al oeste ⇒ K(−4,0).
3. Posición de Dylan: 6 km al sur de Kevin ⇒ D(−4,−6).
4. Posición de Víctor: está a 4 km de Dylan y, para conservar un problema con solución única, consideramos que la distancia se mide hacia el este (dirección horizontal). Así: V(0,−6).
5. Vector de Alan a Víctor: Δx = 0 − 0 = 0  |  Δy = −6 − 0 = −6.
6. Distancia Alan–Víctor: solo hay desplazamiento vertical.
   $$d = |Δy| = 6\text{ km}$$

Conclusión: La distancia que separa a Víctor de Alan es 6 km.

Piensa que la araña vuela en línea recta dentro de un «cajón» rectangular. Para diagonales espaciales usa:
$$d = \sqrt{l^2 + a^2 + h^2}$$
donde l, a y h son las tres dimensiones perpendiculares.

Análisis del problema:
La habitación es un prisma rectangular de 8 cm (largo), 5 cm (ancho) y 10 cm (alto). El tramo recto más corto entre los vértices opuestos dentro de un prisma es la diagonal espacial.

Resolución paso a paso:

1. Identificamos las aristas perpendiculares: largo (8), ancho (5) y alto (10).
2. Aplicamos el teorema de Pitágoras en 3D:
   $$d = \sqrt{l^2 + a^2 + h^2}$$
3. Sustituimos:
   $$d = \sqrt{8^2 + 5^2 + 10^2}$$
   $$d = \sqrt{64 + 25 + 100}$$
   $$d = \sqrt{189}$$
4. Calculamos:
   $$d \approx 13.7\,\text{cm}$$

Conclusión: La araña recorre aproximadamente 13,7 cm.

Dibuja el triángulo: escalera (hipotenusa), suelo (cateto base) y pared (cateto altura). Aplica:
$$a^2 + b^2 = c^2$$
Despeja el cateto que representa la altura.

Análisis del problema:
Escalera, pared y suelo forman un triángulo rectángulo: la escalera es la hipotenusa, la distancia al pie de la pared es un cateto y la altura buscada es el otro cateto.

Resolución paso a paso:

1. Datos: Hipotenusa (escalera) $$c = 2.5\,\text{m}$$, cateto base $$b = 0.7\,\text{m}$$.
2. Teorema de Pitágoras:
   $$a = \sqrt{c^2 - b^2}$$
3. Sustituimos:
   $$a = \sqrt{2.5^2 - 0.7^2}$$
   $$a = \sqrt{6.25 - 0.49}$$
   $$a = \sqrt{5.76}$$
4. Calculamos:
   $$a = 2.4\,\text{m}$$

Conclusión: La pared mide 2,4 m de altura.

Piensa en situaciones cotidianas donde aparezcan triángulos rectángulos: pendientes, diagonales de pantallas, rutas más cortas. Relaciona la idea de distancia más corta con la diagonal de un rectángulo.

Posible respuesta:
El teorema de Pitágoras se puede aplicar cuando necesite calcular distancias indirectas, por ejemplo: la longitud de una rampa, la cuerda de un poste inclinado, la distancia directa entre dos puntos en un plano cartesiano o la hipotenusa de un triángulo dentro de problemas de navegación y construcción.

Reflexiona sobre la utilidad práctica: ¿qué ganaste al usar el teorema en lugar de otros métodos? Piensa en precisión, rapidez o comprensión conceptual.

Posible respuesta:
Me ha permitido resolver problemas reales de medición sin necesidad de medir directamente la longitud deseada, optimizando tiempo y recursos y comprendiendo mejor las relaciones geométricas.

Describe tu proceso: clases, ejemplos, práctica, uso de material concreto, discusiones con compañeros. Identificar métodos de aprendizaje te ayuda a repetirlos con otros contenidos.

Posible respuesta:
Lo aprendí combinando la explicación teórica del teorema con la resolución de ejercicios prácticos, el uso de dibujos para identificar catetos e hipotenusa y la comprobación de resultados en diferentes contextos.

Enumera los conceptos clave: definición de hipotenusa, catetos, condiciones para usar Pitágoras, habilidades desarrolladas (dibujar, abstraer, comprobar resultados).

Posible respuesta:
He aprendido a aplicar el teorema de Pitágoras para calcular distancias desconocidas en triángulos rectángulos y a reconocer cuándo un problema puede modelarse con un triángulo recto.