Página 137 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Pistas para resolver

• Identifica que es un triángulo rectángulo (90° en el vértice inferior izquierdo).
• El lado de 22 unidades está adyacente al ángulo de 43°; el lado que falta (base) es opuesto a ese ángulo.
• Usa las razones trigonométricas:
  $$\tan(\theta)=\dfrac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}$$
  $$\cos(\theta)=\dfrac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}$$
• Para el perímetro necesitas los tres lados; para el área basta con los dos catetos.
• Revisa las funciones trigonométricas (en tu calculadora científica) asegurándote de estar en grados.

1. Análisis del problema
Se muestra un triángulo rectángulo cuyo ángulo en el vértice superior izquierdo mide 43° y el cateto vertical (adyacente a dicho ángulo) mide 22 unidades. Debemos hallar el perímetro y el área.

2. Resolución paso a paso

1. Cálculo del cateto horizontal (base)
   El cateto horizontal es el opuesto al ángulo de 43°. Usamos la tangente:
   $$\tan(\theta)=\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}$$
   $$\text{opuesto}=\text{adyacente}\;\tan(43°)=22\,\tan(43°)\approx22(0.9325)\approx20.52$$
2. Cálculo de la hipotenusa
   Opción A (teorema de Pitágoras):
   $$c=\sqrt{22^{2}+20.52^{2}}\approx\sqrt{484+421}\approx\sqrt{905}\approx30.08$$
   Opción B (coseno):
   $$c=\frac{22}{\cos(43°)}\approx\frac{22}{0.7314}\approx30.08$$
3. Perímetro
   $$P=22+20.52+30.08\approx72.60\;\text{unid}$$
4. Área
   En un triángulo rectángulo:
   $$A=\frac{1}{2}(\text{cateto}_1)(\text{cateto}_2)=\frac{1}{2}(22)(20.52)\approx225.67\;\text{unid}^2$$

3. Conclusión / Respuesta final
Perímetro ≈ 72.60 unidades.
Área ≈ 225.67 unidades².

Pistas para resolver

• Recuerda que el área de un cuadrado es la arista al cuadrado: $$A=s^{2}$$.
• Para hallar la arista, toma la raíz cuadrada del área dada.
• Una vez conocida la arista, el volumen de un cubo se calcula con $$V=s^{3}$$.
• Asegúrate de mantener las unidades coherentes (cm y cm³).

1. Análisis del problema
Se conoce el área de una cara (cuadrado) de un cubo: 400 cm². Con eso hallaremos la arista (lado) del cubo y luego su volumen.

2. Resolución paso a paso

1. Hallar la longitud de la arista
   Si $$s$$ es la medida del lado del cuadrado:
   $$s^{2}=400\;\text{cm}^2$$
   $$s=\sqrt{400}=20\;\text{cm}$$
2. Calcular el volumen del cubo
   El volumen de un cubo es:
   $$V=s^{3}$$
   $$V=20^{3}=20\times20\times20=8000\;\text{cm}^3$$

3. Conclusión / Respuesta final
El volumen del cubo es 8 000 cm³.