Página 138 - Libro de Matemática de Décimo Grado
Volumen y capacidad de figuras geométricas
Resolución Página 138 - Libro de Matemática de Décimo Grado
Datos para la resolución:
1. Determina las dimensiones reales del prisma rectangular apoyándote en las medidas que aparecen en la figura (5, 14 y 7).
2. Observa que la base A B C H de la pirámide es un rectángulo.
3. Usa la fórmula del área de un rectángulo ($$A = a\,b$$) para la base.
4. Para el volumen de la pirámide aplica:
$$V = \tfrac13 A_{\text{base}} h$$ donde h es la altura (distancia del vértice E al plano de la base).
5. Las áreas de las caras triangulares pueden obtenerse con $$A = \tfrac12 \; \text{(base)} \; \text{(altura)}$$ o con vectores si prefieres.
6. Suma las cuatro áreas laterales y la base para obtener el área total.
Explicación
Análisis del problema
La pirámide A B C H E está inscrita en un prisma rectangular cuyas aristas visibles en la figura miden:
- A B = 5 u (largo)
- A C = 7 u (alto)
- B H = 14 u (ancho)
De ello se infiere que el rectángulo de base A B C H tiene dimensiones 5 u × 14 u y que la altura de la pirámide (distancia de E al plano de la base) es 7 u.
1. Área de la base
La base es el rectángulo A B C H:
$$A_{\text{base}} = 5 \; \text{u} \times 14 \; \text{u} = 70\;\text{u}^2$$2. Área lateral
La pirámide tiene cuatro caras laterales triangulares:
- Triángulo A B E
- Triángulo B H E
- Triángulo H C E
- Triángulo C A E
Se calculan sus áreas con el producto vectorial (o la fórmula (base·altura)/2 cuando es posible):
- Δ A B E
$$A_{ABE}=\tfrac12 \;|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AE}|\approx 39.1\;\text{u}^2$$ - Δ B H E (base 14 u, altura 7 u)
$$A_{BHE}=\tfrac12 (14)(7)=49\;\text{u}^2$$ - Δ H C E (base 5 u, altura 7 u)
$$A_{HCE}=\tfrac12 (5)(7)=17.5\;\text{u}^2$$ - Δ C A E
$$A_{CAE}=\tfrac12 \;|\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CE}|\approx 60.2\;\text{u}^2$$
Área lateral total:
$$A_{\text{lateral}}\approx 39.1+49+17.5+60.2=165.8\;\text{u}^2$$3. Área total de la pirámide
$$A_{\text{total}}=A_{\text{base}}+A_{\text{lateral}}\approx 70+165.8=235.8\;\text{u}^2$$4. Volumen de la pirámide
$$V=\tfrac13 \;A_{\text{base}}\;h=\tfrac13 (70)(7)=\tfrac{490}3\;\text{u}^3\approx 163.3\;\text{u}^3$$Conclusión
El área total de la pirámide es aproximadamente 236 u² y su volumen aproximadamente 163,3 u³.
Datos para la resolución:
1. Imagina la piscina como dos "canales" de 25 m cada uno.
2. Cuando la profundidad cambia de forma lineal, el volumen se calcula con la profundidad media:
$$V = (\text{ancho})(\text{longitud})(\tfrac{h_1+h_2}{2})$$
3. Repite para cada tramo y suma los resultados.
4. Repasa las unidades: el volumen queda en metros cúbicos.
5. Si te resulta difícil visualizar la forma, dibuja un perfil longitudinal mostrando las profundidades en cada extremo de los 25 m.
Explicación
Análisis del problema
La piscina se divide en dos tramos de 25 m cada uno (25 m + 25 m = 50 m). En cada tramo la profundidad cambia linealmente, formando un prisma truncado (un "canal" con sección trapezoidal).
1. Primer tramo (0 – 25 m)
Profundidad inicial 1,5 m y final 2,5 m.
- Promedio de profundidades: $$\tfrac{1.5+2.5}{2}=2\;\text{m}$$
- Volumen: $$V_1 = (\text{ancho})(\text{longitud})(\text{prof. media}) = 12 \times 25 \times 2 = 600\;\text{m}^3$$
2. Segundo tramo (25 – 50 m)
Profundidad inicial 3 m y final 5 m.
- Promedio de profundidades: $$\tfrac{3+5}{2}=4\;\text{m}$$
- Volumen: $$V_2 = 12 \times 25 \times 4 = 1200\;\text{m}^3$$
3. Volumen total
$$V_{\text{total}} = V_1 + V_2 = 600 + 1200 = 1800\;\text{m}^3$$Conclusión
Se necesitan aproximadamente 1 800 m³ de agua para llenar la piscina.
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Ejercicios
b)
Calculo el área y el volumen de la pirámide A B C H E, inscrita en el prisma rectangular, como se muestra en la figura.
[Ilustración: prisma rectangular con pirámide ABCHE y dimensiones 5, 7 y 14]
c)
Calculo el volumen de una piscina que tiene 50 m de largo y 12 m de ancho. Se conoce que la profundidad varía de 1,5 m a 2,5 m en los primeros 25 m, y de 3 m a 5 m en los siguientes 25 m. ¿Cuál es el volumen de agua necesario para llenar la piscina?