Página 139 - Libro de Matemática de Décimo Grado

• Usa tijeras bien afiladas para evitar que el papel se desgarre.
• Mantén la mano que no corta siempre lejos de la línea de corte.
• Si algún vértice es muy agudo, haz un pequeño corte en "V" para girar la tijera sin romper la pieza.
• Coloca las piezas sobre la retícula de fondo para comprobar que conservan sus dimensiones.

Análisis de la actividad: El objetivo es separar, con precisión, cada una de las cinco piezas delimitadas por líneas punteadas en el rompecabezas mostrado.

Procedimiento paso a paso:

1. Preparación: Coloca la hoja sobre una superficie plana y firme. Ten a la mano tijeras de punta fina y, si lo prefieres, una regla y cúter (con supervisión).
2. Marcado: Repasa suavemente con lápiz las líneas punteadas para remarcar los contornos; esto te ayudará a seguirlas con mayor exactitud.
3. Corte inicial: Con las tijeras, realiza un corte de aproximación para separar el contorno general del rompecabezas del resto de la hoja.
4. Corte de precisión: Siguiendo las líneas punteadas, corta pieza por pieza:
   • Pieza 5 (rombo celeste)
   • Pieza 6 (trapecio rosa)
   • Pieza 7 (triángulo rojo)
   • Pieza 8 (cuadrilátero verde)
   • Pieza 9 (cuadrado violeta)
   Haz los giros necesarios con el papel, no con las tijeras, para mantener la trayectoria recta.
5. Revisión final: Verifica que los bordes queden lisos y sin rebabas; usa una lija muy fina o corta mínimas imperfecciones si fuera necesario.

Conclusión: Al terminar, tendrás cinco piezas geométricas independientes listas para ser manipuladas en las actividades siguientes.

• Antes de comenzar, colócate sobre la retícula y marca con lápiz un contorno de 3, 4 y 5 cuadros de lado; te servirá de guía.
• Piensa en rellenar espacios: busca que los bordes de cada pieza coincidan con líneas del cuadro.
• Recuerda controlar el área total. Sumar las áreas de piezas debe coincidir con el área del cuadrado meta.
• Experimenta con giros de 90° y 180°; una misma pieza puede encajar de varias formas.

Análisis de la actividad: Debes reorganizar las cinco piezas para formar tres cuadrados cuyos lados midan 3 u, 4 u y 5 u (unidades de la retícula). Estas medidas constituyen un trío pitagórico clásico.

Resolución paso a paso:

1. Cuadrado de lado 3 u (área 9 u²):
   Coloca la pieza 9 (cuadrado violeta). Sus vértices coinciden con los centros de las celdas, pero al girarlo 45°, su contorno exterior corresponde exactamente a 3 × 3 unidades de la retícula.
2. Cuadrado de lado 4 u (área 16 u²):
   Une las piezas 6 y 7. Rota la pieza 6 de modo que su base mayor quede horizontal y acopla la pieza 7 en la esquina libre para completar un cuadrado perfecto de 4 × 4 unidades.
3. Cuadrado de lado 5 u (área 25 u²):
   Ensambla las cinco piezas siguiendo esta secuencia:
   1. Coloca primero la pieza 5 centrada; sus diagonales marcan posiciones clave.
   2. Ajusta arriba la pieza 6 y debajo la pieza 7 para rellenar huecos.
   3. Completa el lado derecho con la pieza 8 y corona con la pieza 9.
   El contorno resultante forma un cuadrado de 5 × 5 unidades.

Conclusión: Se obtienen tres cuadrados cuyas áreas cumplen $$3^2+4^2=5^2\;(9+16=25)$$. Este arreglo es la base para la demostración tangible del Teorema de Pitágoras.

• Recuerda la forma general del teorema: $$a^2+b^2=c^2$$.
• Verifica que las áreas físicas (el «espacio» de cartón o papel) de los cuadrados chicos llenen exactamente el cuadrado grande.
• Intenta primero sobreponer las piezas sin pegarlas; mueve y rota hasta que encajen.
• Pregúntate: ¿quedó algún hueco?, ¿sobró alguna parte? Si la respuesta es «no», la igualdad de áreas queda comprobada.

Análisis: El Teorema de Pitágoras afirma que, en un triángulo rectángulo, la suma de las áreas de los cuadrados sobre los catetos es igual al área del cuadrado sobre la hipotenusa.

Explicación paso a paso:

1. Identificación de los catetos e hipotenusa: Los catetos serán los lados que miden 3 u y 4 u; la hipotenusa, el lado que mide 5 u.
2. Comparación de áreas:
   $$ A_{cateto_1}=3^2=9\;u^2,\qquad A_{cateto_2}=4^2=16\;u^2$$
   Suma de áreas de catetos:
   $$9+16=25\;u^2$$
   Área del cuadrado sobre la hipotenusa:
   $$A_{hip}=5^2=25\;u^2$$
3. Reacomodo de piezas: Al desarmar los cuadrados de 3 u y 4 u y reacomodar sus piezas, llenan exactamente el cuadrado de 5 u, sin solaparse ni dejar huecos.

Conclusión/Respuesta final: Sí, con estas piezas se demuestra el Teorema de Pitágoras porque las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos (3 u y 4 u) se combinan para formar, sin sobra ni carencia, el cuadrado construido sobre la hipotenusa (5 u).

• Piensa en situaciones cotidianas con ángulos rectos (postes con cables, rampas, senderos diagonales en parques, etc.).
• Define los datos conocidos (catetos) y lo que quieres hallar (hipotenusa).
• Usa la fórmula $$a^2+b^2=c^2$$ para resolver.
• Comprueba tu resultado con el rompecabezas: construye los cuadrados de catetos, desármalos y rellena el cuadrado de la hipotenusa.

Problema propuesto:
«Una escalera se apoya en una pared formando un ángulo recto con el suelo. La base de la escalera está a 3 m de la pared y la pared tiene una altura de 4 m en el punto donde se apoya la escalera. ¿Qué longitud mínima debe tener la escalera para alcanzar ese punto?»

Resolución paso a paso:

1. Modelo geométrico: Se forma un triángulo rectángulo donde los catetos miden 3 m y 4 m; la hipotenusa representa la escalera.
2. Aplicación del Teorema de Pitágoras:
   $$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\;\text{m}$$

Conclusión/Respuesta final: La escalera debe medir, como mínimo, 5 m para alcanzar el punto deseado.