Página 140 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Revisa que todo triángulo rectángulo formado cumpla con un ángulo recto en el pie de la torre. Los lados horizontales representan distancias sobre el suelo y los lados inclinados representan las líneas de visión.

Completación del esquema

• Rotula el vértice superior de la torre como C (cúspide) y el pie de la torre como T.
• Marca la altura de la torre con la letra h sobre el segmento CT.
• Escribe α = 45° en el ángulo de elevación que forma la recta visual desde el punto de observación más cercano (P₁) hasta la cúspide C.
• Escribe β = 30° en el ángulo de elevación que forma la recta visual desde el punto de observación más lejano (P₂) hasta la cúspide C.
• Designa la distancia horizontal entre T y P₁ como x.
• Escribe x + 60 m como la distancia horizontal entre T y P₂.
• Rotula la distancia horizontal entre los dos puntos de observación (P₁ P₂) como 60 m.

Pistas para resolver

• Identifica qué razón trigonométrica relaciona la altura con la distancia horizontal (tan, porque es cateto opuesto / cateto adyacente).
• Recuerda los valores notables:
  $$\tan 45^\circ = 1$$ y $$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$$
• Plantea dos ecuaciones usando $$\tan$$ para cada triángulo y observa que la altura es la misma en ambos.
• Despeja x con cuidado: primero elimina denominadores y luego racionaliza si es necesario.
• Finalmente sustituye para hallar la altura.

1. Análisis del problema
Se forman dos triángulos rectángulos que comparten la altura h de la torre. Conocemos:

• $$\alpha = 45^\circ$$
• $$\beta = 30^\circ$$
• Distancia entre los puntos de observación: 60 m (es decir, $$P_1P_2 = 60$$)

2. Resolución paso a paso

1. Para el triángulo que parte en P₁:
   $$\tan 45^\circ = \frac{h}{x}$$
   Como $$\tan 45^\circ = 1$$, se obtiene:
   $$h = x$$
2. Para el triángulo que parte en P₂:
   $$\tan 30^\circ = \frac{h}{x+60}$$
   Sustituyendo $$h = x$$ y sabiendo que $$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ se tiene:
   $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x}{x+60}$$
3. Despejamos x:
   $$x+60 = \sqrt{3}\,x$$
   $$(\sqrt{3}-1)x = 60$$
   $$x = \frac{60}{\sqrt{3}-1}$$
   Racionalizando el denominador:
   $$x = \frac{60(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{60(\sqrt{3}+1)}{2}$$
   $$x = 30(\sqrt{3}+1)\;\text{m} \approx 81.96\;\text{m}$$
4. Altura de la torre:
   $$h = x \approx 81.96\;\text{m}$$

3. Conclusión / Respuesta final
El valor de la incógnita es x ≈ 81.96 m y, en consecuencia, la altura de la torre es ≈ 81.96 m.