Página 141 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Sugerencias para crear tus propios problemas

• 1. Mide primero: Usa la cuadrícula para contar cuadritos y decidir cada longitud. Puedes redondear a números enteros para facilitar los cálculos.
• 2. Decide qué preguntar: Ejemplos de enunciados:
  – «¿Cuál es el área lateral / total de la pieza?»
  – «¿Qué volumen ocupa?»
  – «¿Cuánta pintura se necesita si 1 litro cubre 5 m²?»
• 3. Apóyate en las fórmulas clave:

$$A_{prisma}=2(lw+lh+wh)$$
$$A_{cil,lat}=2\pi rh$$
$$A_{cil,base}=\pi r^2$$
$$V_{prisma}=lwh$$
$$V_{cil}=\pi r^2h$$

4. Verifica coherencia: Un buen problema siempre menciona las unidades y pide un resultado claro.

Análisis de la consigna

Debemos observar la pieza 3-D mostrada, asignar las medidas que consideremos convenientes (siguiendo la cuadrícula como referencia) y crear dos problemas: uno de área y otro de volumen. Finalmente, los resolvemos.

Resolución paso a paso

1. Asignación de medidas
   Al contar los cuadros de la cuadrícula se propone:
   • Prisma inferior: 8 cm de largo, 6 cm de ancho y 2 cm de alto.
   • Prisma superior (en forma de “L”): 4 cm de largo, 4 cm de ancho y 2 cm de alto.
   • Cilindro: radio 2 cm y altura 2 cm (misma que el prisma inferior).
2. Problema 1 (área)
   «Calcula el área total de la superficie expuesta de la figura.»
   - Área de los dos prismas combinados:
   $$A_{prismas}=2(lw+lh+wh)=2[(8)(6)+(8)(4)+(6)(4)]=2(48+32+24)=208\text{ cm}^2$$
   - Área lateral del cilindro:
   $$A_{cil,lat}=2\pi rh=2\pi(2)(2)=8\pi\text{ cm}^2$$
   - Área de las dos bases del cilindro (solo la superior está visible):
   $$A_{cil,base}=\pi r^2=\pi(2)^2=4\pi\text{ cm}^2$$
   - Área total:
   $$A_T=208+8\pi+4\pi=208+12\pi\;\text{cm}^2\approx245.7\text{ cm}^2$$
3. Problema 2 (volumen)
   «Determina el volumen de material necesario para fabricar la pieza completa.»
   - Volumen del prisma inferior:
   $$V_1=8\cdot6\cdot2=96\text{ cm}^3$$
   - Volumen del prisma superior (forma “L”): se trata de un prisma 4 × 4 × 2 menos el vacío cilíndrico;
   $$V_2=4\cdot4\cdot2=32\text{ cm}^3$$
   - Volumen del cilindro (sólido, no hueco):
   $$V_{cil}=\pi r^2h=\pi(2)^2(2)=8\pi\text{ cm}^3$$
   - Volumen total:
   $$V_T=96+32+8\pi=128+8\pi\;\text{cm}^3\approx153.1\text{ cm}^3$$

Conclusión
Se formularon y resolvieron dos problemas: uno de área (≈ 245.7 cm²) y otro de volumen (≈ 153.1 cm³) basados en las medidas seleccionadas.