Página 159 - Libro de Matemática de Décimo Grado

1. Escoge una situación cotidiana (lotería, dados, cartas, balotas, ruleta, etc.) que te permita definir dos conjuntos de eventos A y B.
2. Revisa las leyes de De Morgan: $$(A\cup B)^c = A^c \cap B^c$$ y $$(A\cap B)^c = A^c \cup B^c$$.
3. Asegúrate de que tu problema requiera:

• Contar elementos de A, de B y de A∩B mediante combinatoria o enumeración organizada.
• Aplicar una ley de De Morgan para hallar el complemento.

Propuesta de situación y problema

Situación: En la lotería estudiantil se extrae al azar un número de dos cifras, desde 00 hasta 99. El club de Matemática ofrece un premio si el número extraído no es múltiplo de 3 y tampoco contiene la cifra 7.

Problema formulado:
Sea el conjunto universo $$U=\{00,01,02,\dots ,99\}$$ (100 números).
• A = {números divisibles entre 3}.
• B = {números que contienen al menos un dígito 7}.
Calcula, usando conteo e indicando explícitamente el uso de las leyes de De Morgan, la probabilidad de que no ocurra A y tampoco ocurra B, es decir, la probabilidad de $$(A\cup B)^c$$.

• Organiza tus conteos en tablas o listas cortas.
• Para obtener |B| más rápido, calcula primero el complemento (números sin 7) y resta de 100.
• Revisa cuidadosamente la intersección A ∩ B: escribe los múltiplos de 3 y marca los que contienen 7.
• Recuerda la fórmula de inclusión-exclusión:
$$|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|$$.
• Verifica que la suma de favorables + no favorables = 100 para comprobar que no olvidaste casos.

1. Análisis del problema

Queremos P( (A ∪ B)^c ): la probabilidad de que el número no sea múltiplo de 3 y no contenga el dígito 7.

2. Resolución paso a paso

1. Cálculo de |A| (múltiplos de 3)
   $$|A| = \left\lfloor\frac{99}{3}\right\rfloor + 1 = 33 + 1 = 34$$
2. Cálculo de |B| (números con al menos un 7)
   • Formo cada número con dos cifras independientes.
   • Números sin 7: 9 opciones para la decena (0-9 sin 7) y 9 para la unidad.
   $$9\times 9 = 81$$
   • Entonces $$|B| = 100 - 81 = 19$$
3. Cálculo de |A ∩ B| (múltiplos de 3 que contienen 7)
   Lista de múltiplos de 3 de 0 a 99: 0,3,6,…,99. Selecciono los que tienen 7:
   {27, 57, 72, 75, 78, 87}.
   $$|A\cap B| = 6$$
4. |A ∪ B| mediante inclusión–exclusión
   $$|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B| = 34 + 19 - 6 = 47$$
5. Ley de De Morgan para el complemento
   $$(A\cup B)^c = A^c \cap B^c$$
   Casos favorables: $$| (A\cup B)^c | = 100 - 47 = 53$$
6. Probabilidad
   $$P\big((A\cup B)^c\big) = \frac{53}{100} = 0{.}53 = 53\%$$

3. Conclusión

La probabilidad de ganar el premio (número que no es múltiplo de 3 ni contiene el dígito 7) es 53 %.

• Mantén un tono amigable y explica cada término técnico con palabras sencillas.
• Incluye transiciones como: «Ahora, pasemos al segundo paso…» para guiar al espectador.
• Usa ejemplos visuales (tarjetas, balotas, etc.) cuando grabes el video para facilitar la comprensión.
• Termina el guion con una invitación a que los estudiantes realicen un ejercicio parecido por su cuenta.

Guion completo sugerido

¡Hola, queridos matemáticos! El día de hoy veremos cómo se solucionan problemas relacionados a la probabilidad.

¿Sabes qué es la probabilidad?… La probabilidad es la representación numérica de la posibilidad de que ocurra o no un evento determinado.

Para que entiendas mejor de qué se trata, vamos a resolver el siguiente problema:
«En la lotería estudiantil se elige un número al azar entre 00 y 99. ¿Cuál es la probabilidad de que el número no sea múltiplo de 3 y tampoco contenga la cifra 7?»

Primero contaremos cuántos números son múltiples de 3 y cuántos contienen la cifra 7. Luego aplicaremos la ley de De Morgan para hallar el complemento, y finalmente dividiremos los casos favorables entre el total de casos posibles.

Después de resolverlo descubriremos que la probabilidad de obtener un número «ganador» es del 53 %. ¡Acompáñame y verás lo fácil que es aplicar las matemáticas en situaciones reales!

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