Página 162 - Libro de Matemática de Décimo Grado

• Cuenta cuántas observaciones pertenecen a cada intervalo.
• Repite el procedimiento para todos los intervalos y verifica que la suma de frecuencias sea igual al número total de datos (14).
• Si te confundes, subraya cada valor a medida que lo contabilizas para no repetirlo.

Análisis del problema: Se deben contar cuántos datos caen en cada intervalo (8 ; 10), (10 ; 12) y (12 ; 14) usando la lista:
14, 12, 9, 10, 8, 11, 12, 14, 13, 10, 11, 12, 9, 14.

Resolución paso a paso:

1. Intervalo (8 ; 10): 8, 9, 9, 10, 10 → $$f_1 = 5$$
2. Intervalo (10 ; 12): 11, 11, 12, 12, 12 → $$f_2 = 5$$
3. Intervalo (12 ; 14): 13, 14, 14, 14 → $$f_3 = 4$$
4. Total: $$f_T = 5+5+4 = 14$$

Conclusión: La tabla completa queda:

Entregas | f
(8; 10) | 5
(10; 12) | 5
(12; 14) | 4
Total | 14

1. Recuerda que en una gráfica circular la suma de los grados es 360°.
2. Un método rápido: $$\text{Porcentaje}=\frac{f}{14}\times100\%$$; luego $$\theta=\frac{\text{Porcentaje}}{100}\times360^\circ$$.
3. Usa transportador para trazar con precisión cada ángulo.

Análisis del problema: Con las frecuencias encontradas se debe construir un diagrama de pastel (gráfica circular).

Resolución paso a paso:

1. Calcula la proporción de cada intervalo:
   $$p_i = \frac{f_i}{f_T}$$
2. Convierte cada proporción a grados multiplicando por 360°:
   $$\theta_i = p_i \times 360^\circ$$

Cálculos:

• (8; 10): $$p_1 = \frac{5}{14}\approx0,3571$$; $$\theta_1 \approx 0,3571\times360^\circ \approx128,6^\circ$$
• (10; 12): $$p_2 = \frac{5}{14}\approx0,3571$$; $$\theta_2 \approx128,6^\circ$$
• (12; 14): $$p_3 = \frac{4}{14}\approx0,2857$$; $$\theta_3 \approx102,9^\circ$$

Conclusión: Dibuja un círculo, traza radios que dividan los ángulos (128,6°, 128,6°, 102,9°) y sombrea o etiqueta cada sector con su intervalo y porcentaje (35,7 %, 35,7 %, 28,6 %).

• Suma los días (N) de cada temperatura.
• El valor con frecuencia más alta (mayor N) es la moda.

Análisis: La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia.

Resolución: En la tabla, la temperatura 21 °C suma 2+5+3=10 días, más que cualquier otra.
Moda = 21 °C

Multiplica cada temperatura por su número de días y luego divide la suma total entre 18 (el número total de observaciones).

Análisis: La media ponderada se calcula con la fórmula:
$$\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$$

Resolución paso a paso:

1. Multiplicaciones:
   13·3=39, 18·2=36, 21·2=42, 21·5=105, 17·2=34, 21·3=63, 23·1=23
2. Suma de productos:$$\sum f_i x_i = 39+36+42+105+34+63+23 = 342$$
3. Total de días:$$\sum f_i = 18$$
4. Media:$$\bar{x}=\frac{342}{18}=19$$

Conclusión: Media = 19 °C

• Escribe todos los datos en orden ascendente repetidos según su frecuencia.
• Con N par (18), la mediana es el promedio de las posiciones N/2 y N/2 +1.

Análisis: Con 18 datos, la mediana es el promedio del 9.º y 10.º valores ordenados.

Resolución: Al ordenar los 18 datos, del 8.º al 17.º lugar todos son 21 °C.
El 9.º dato = 21 °C y el 10.º dato = 21 °C.
$$\text{Mediana}=\frac{21+21}{2}=21$$

Conclusión: Mediana = 21 °C

• Agrupa las edades idénticas para acelerar los cálculos.
• Fórmulas clave:
$$\bar{x}=\frac{\sum x_i}{N}$$
$$\sigma^{2}=\frac{\sum (x_i-\bar{x})^{2}}{N}$$
$$\sigma=\sqrt{\sigma^{2}}$$
• Revisa que la suma de las desviaciones al cuadrado (≈19,73) y el valor de N se usen correctamente.
• Para el rango solo necesitas el menor y el mayor dato.

Análisis: Se requiere rango (R), varianza (σ²) y desviación estándar (σ) para la población de 15 datos.

Paso 1: Rango
$$R = x_{\max} - x_{\min} = 16 - 12 = 4$$

Paso 2: Media
Sumatoria: 212 (ver cálculo en tip).
$$\bar{x}=\frac{212}{15}\approx14,13$$

Paso 3: Varianza poblacional
$$\sigma^{2}=\frac{\sum (x_i-\bar{x})^{2}}{N}=\frac{19,7289}{15}\approx1,32$$

Paso 4: Desviación estándar
$$\sigma=\sqrt{1,32}\approx1,15$$

Conclusión:

• Rango = 4
• Varianza ≈ 1,32 años²
• Desviación estándar ≈ 1,15 años

Recuerda que los experimentos equiprobables asignan la misma probabilidad a cada resultado posible.

Análisis: Una moneda equilibrada tiene dos resultados igualmente probables.

Resolución:
$$P(\text{cara})=\frac{\text{número de resultados favorables}}{\text{número de resultados posibles}}=\frac{1}{2}$$

Conclusión: Probabilidad = 1/2 = 0,5 = 50 %

• Paso clave: agrupa los libros por asignatura.
• Para la probabilidad usa $$P=\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$$.
• Recuerda que $$10!=10\times9\times\dots\times1$$.

Análisis: Trata a los 5 libros de cada asignatura como bloques para que queden juntos.

Resolución paso a paso:

1. Permutaciones totales de 10 libros distintos:
   $$10!$$
2. Permutaciones favorables:
   • Dos bloques (M y H) pueden ordenarse de 2 maneras (M-H o H-M).
   • Dentro de cada bloque, los 5 libros pueden ordenarse libremente: $$5!\times5!$$
   • Por tanto: $$\text{Favorables}=2\times5!\times5!$$
3. Probabilidad:
   $$P=\frac{2\,5!\,5!}{10!}=\frac{1}{126}$$

Conclusión: La probabilidad de que los libros de cada asignatura queden juntos es 1/126 (≈0,0079 %).

• Cualitativa: describe cualidades (color, tipo, nombre, categoría).
• Cuantitativa: se mide o cuenta numéricamente (años, metros, dólares, kg, número de objetos, notas).
• Ante la duda, pregúntate: «¿Puedo asignar un número con sentido de medición o conteo?» Si la respuesta es sí, es cuantitativa.

Tabla completada

Cualitativa | Cuantitativa
Color de cabello | Edad
Tipos de casas | Estatura
Tipos de comidas | Salario
Color de ropa | Muebles de un hogar
| Peso
| Calificaciones

Observación: Los muebles de un hogar se consideran cuantitativa discreta porque se pueden contar (1, 2, 3…).