Página 161 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Pista: Usa el Teorema de Pitágoras: $$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$. Conoces $$c$$ y $$b$$; basta con despejar $$a$$. Recuerda que al final debes extraer la raíz cuadrada para obtener la longitud.

Análisis del problema
Tenemos un triángulo rectángulo con hipotenusa $$c = 25\text{ cm}$$ y un cateto conocido $$b = 16\text{ cm}$$. Se pide la longitud del cateto faltante $$a$$.

Resolución paso a paso

1. Aplicamos el Teorema de Pitágoras:
   $$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$
2. Despejamos $$a$$:
   $$a^{2}=c^{2}-b^{2}=25^{2}-16^{2}=625-256=369$$
3. Cálculo de $$a$$:
   $$a=\sqrt{369}\approx19.24\text{ cm}$$

Conclusión/Respuesta final
La longitud del cateto faltante es aproximadamente 19,24 cm. (Exacta: $$\sqrt{369}\,\text{cm}$$)

Pista:

• Identifica primero cuál es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto).
• Utiliza las razones trigonométricas básicas:
  $$\cos\theta = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}$$
  $$\tan\theta = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}$$
• Después, calcula el ángulo faltante con la relación de los ángulos internos de un triángulo rectángulo ($$90^{\circ}$$ de ángulo recto).

Análisis del problema
En el triángulo rectángulo se conoce:
• Ángulo agudo en A: $$\alpha = 30^{\circ}$$
• Lado adyacente a ese ángulo: $$AB = 12\text{ cm}$$
• Ángulo en B: 90°

Resolución paso a paso

1. Hipotenusa
   $$\cos \alpha = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}$$
   $$\cos 30^{\circ} = \frac{12}{c} \;\;\Rightarrow\;\; c = \frac{12}{\cos 30^{\circ}} = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{24}{\sqrt{3}} \approx 13.86\text{ cm}$$
2. Cateto opuesto
   $$\tan \alpha = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}$$
   $$\tan 30^{\circ} = \frac{a}{12} \;\;\Rightarrow\;\; a = 12\tan 30^{\circ} = 12\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx 6.93\text{ cm}$$
3. Ángulo restante
   $$\beta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$$

Conclusión/Respuesta final
• Hipotenusa: ≈ 13,86 cm
• Cateto opuesto al ángulo de 30°: ≈ 6,93 cm
• Ángulos internos: 30°, 60°, 90°

Pista:

• Dibuja o revisa mentalmente el triángulo, identifica la hipotenusa, el cateto opuesto y el cateto adyacente al ángulo de 48°.
• Recuerda las definiciones:
  $$\tan\theta = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}$$
  $$\cos\theta = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}$$
• El área de un triángulo rectángulo se halla con $$\frac{\text{cateto}_1 \times \text{cateto}_2}{2}$$.

Análisis del problema
Datos conocidos:
• Cateto vertical (adyacente al ángulo de 48°): $$b = 35\text{ m}$$
• Ángulo en la parte superior: $$\alpha = 48^{\circ}$$
• Ángulo recto en la base.

Resolución paso a paso

1. Cateto horizontal (opuesto al ángulo de 48°)
   $$\tan \alpha = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} \;\;\Rightarrow\;\; a = b\tan \alpha = 35\tan 48^{\circ} \approx 35(1.1106) \approx 38.87\text{ m}$$
2. Hipotenusa
   $$\cos \alpha = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} \;\;\Rightarrow\;\; c = \frac{b}{\cos 48^{\circ}} = \frac{35}{0.6691} \approx 52.34\text{ m}$$
3. Perímetro
   $$P = a + b + c \approx 38.87 + 35 + 52.34 \approx 126.21\text{ m}$$
4. Área
   $$A = \frac{a\,b}{2} = \frac{38.87 \times 35}{2} \approx \frac{1360.45}{2} \approx 680.23\text{ m}^2$$

Conclusión/Respuesta final
• Perímetro del terreno ≈ 126,21 m
• Área del terreno ≈ 680,23 m²

Pista:

• Recuerda que en un triángulo rectángulo siempre se cumple $$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$.
• Si igualas esta expresión con la dada y sustituyes $$r=\frac{a}{b}$$, llegarás a una ecuación cuadrática.
• Comprueba el discriminante ($$\Delta=b^{2}-4ac$$) para decidir si hay soluciones reales. Si $$\Delta<0$$, la condición no será realizable con números reales, lo que señala un posible error en los datos o una imposibilidad geométrica.

Análisis del problema
Sea el triángulo rectángulo con catetos $$a$$ y $$b$$, e hipotenusa $$c$$. La condición indicada es
$$c^{2}=\frac{6}{4}ab=\frac{3}{2}ab$$
Pero el Teorema de Pitágoras afirma que $$c^{2}=a^{2}+b^{2}$$.

Resolución paso a paso

1. Igualamos las dos expresiones:
   $$a^{2}+b^{2}=\frac{3}{2}ab$$
2. Dividimos todo entre $$b^{2}$$ (suponiendo $$b\neq 0$$) y definimos $$r=\frac{a}{b}$$:
   $$r^{2}+1=\frac{3}{2}r$$
3. Multiplicamos por 2:
   $$2r^{2}-3r+2=0$$
4. Calculamos el discriminante:
   $$\Delta=(-3)^{2}-4(2)(2)=9-16=-7<0$$

Conclusión/Respuesta final
El discriminante es negativo, por lo que no existe un valor real para $$r=\frac{a}{b}$$ que cumpla la condición. Ello implica que no puede existir un triángulo rectángulo con la propiedad mencionada. En consecuencia, la cotangente del ángulo mayor (que depende de la razón entre catetos) no se puede determinar porque el triángulo es imposible.