Página 47 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Pista: Recuerda que en un triángulo rectángulo el lado opuesto al ángulo recto recibe el nombre de hipotenusa. Para hallar la hipotenusa solamente necesitas conocer los dos catetos y aplicar el teorema de Pitágoras:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

• Asegúrate de identificar correctamente los catetos (vertical y horizontal).
• Después de sumar los cuadrados, no olvides calcular la raíz cuadrada para encontrar c.
• Revisa tus unidades: todos los datos están en metros, así que la respuesta también debe expresarse en metros.

Análisis del problema
La escalera, la pared del edificio y el suelo forman un triángulo rectángulo. Nos dan:

• Altura (cateto vertical): 7 m
• Distancia de la pared al pie de la escalera (cateto horizontal): 1,80 m

Resolución paso a paso

1. Aplicamos el teorema de Pitágoras, que establece:
   $$c^2 = a^2 + b^2$$
   donde c es la hipotenusa, a y b son los catetos.
2. Sustituimos los valores:
   $$c^2 = (7)^2 + (1.8)^2$$
   $$c^2 = 49 + 3.24 = 52.24$$
3. Extraemos la raíz cuadrada:
   $$c = \sqrt{52.24} \approx 7.226\text{ m}$$

Conclusión / Respuesta final
La escalera debe medir aproximadamente 7,23 m para alcanzar la parte alta del edificio.

Pista: Identifica primero qué elementos corresponden a la hipotenusa y al cateto opuesto. Cuando conoces la hipotenusa y un ángulo agudo, las razones trigonométricas son muy útiles:

• Seno: $$\sin(\theta)=\dfrac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}$$
• Coseno: $$\cos(\theta)=\dfrac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}$$
• Tangente: $$\tan(\theta)=\dfrac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}$$

En este caso, el cateto opuesto es exactamente la altura que buscamos, y la hipotenusa es la cuerda (80 m). Por ello, usa el seno. Calcula el valor numérico de $$\sin(50°)$$ con tu calculadora y luego multiplícalo por 80.

Análisis del problema
La cuerda es la hipotenusa (80 m) de un triángulo rectángulo formado por:

• Altura del globo (cateto opuesto al ángulo de 50°)
• Proyección horizontal (cateto adyacente)

Resolución paso a paso

1. Utilizamos la razón trigonométrica seno, porque relaciona cateto opuesto e hipotenusa:
   $$\sin(\theta) = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}$$
2. Sustituimos los valores conocidos ($$\theta = 50°$$, hipotenusa = 80 m):
   $$\sin(50°) = \frac{h}{80}$$
3. Despejamos la altura $$h$$:
   $$h = 80 \cdot \sin(50°)$$
4. Calculamos:
   $$\sin(50°) \approx 0.7660$$
   $$h \approx 80 \times 0.7660 \approx 61.28 \text{ m}$$

Conclusión / Respuesta final
El globo se encuentra aproximadamente a una altura de 61,3 m sobre el suelo.