Página 46 - Libro de Matemática de Décimo Grado

• Suma primero las fracciones que representan los gastos.
• Recuerda que para sumar fracciones debes tener el mismo denominador.
• Una vez hallada la fracción total gastada, réstala de la unidad (1) para encontrar la parte no gastada.
• Revisa que el resultado esté simplificado.

Análisis del problema:
Se conoce la fracción del ahorro que Andrea gasta en tres ocasiones. Se busca la fracción que no gastó.

Resolución paso a paso:

1. Expresamos todas las fracciones con el mismo denominador.
   $$\frac14 = \frac28$$
2. Sumamos las fracciones gastadas.
   $$\frac28 + \frac28 + \frac18 = \frac{2+2+1}{8}=\frac58$$
3. La fracción total del ahorro es 1 (o $$\frac88$$). Restamos lo gastado.
   $$1-\frac58 = \frac88-\frac58 = \frac38$$

Conclusión/Respuesta final:
La fracción del dinero que le quedó a Andrea es $$\frac38$$.

Piensa en la palabra "por" (×) cada vez que desciendas un nivel: edificios → plantas → viviendas → personas. Multiplica 3 sucesivamente.
$$\text{Total}=3\times3\times3\times3$$

Análisis del problema:
Se repite la cantidad 3 en cada nivel (edificios, plantas, viviendas, personas). Es un conteo por producto.

Resolución paso a paso:

1. Calculamos el número total de plantas.
   $$3\;\text{edificios} \times 3\;\text{plantas/edificio}=9\;\text{plantas}$$
2. Calculamos el número total de viviendas.
   $$9\;\text{plantas} \times 3\;\text{viviendas/planta}=27\;\text{viviendas}$$
3. Calculamos el número total de personas.
   $$27\;\text{viviendas} \times 3\;\text{personas/vivienda}=81\;\text{personas}$$

Conclusión/Respuesta final:
En el barrio viven 81 personas.

1. Relaciona largo (L), ancho (W) y diagonal (d) con Pitágoras.
2. Después de hallar W, multiplica L × W.
3. Puedes dejar el resultado como raíz o usar una aproximación decimal.
4. Recuerda: si $$a=\sqrt{x},\;b=\sqrt{y}$$, entonces $$a\,b=\sqrt{xy}$$.

Análisis del problema:
Conocemos la longitud ($$L=\sqrt{362}\;\text{m}$$) y la diagonal ($$d=\sqrt{9878}\;\text{m}$$) de un rectángulo. Necesitamos el ancho ($$W$$) para luego hallar el área $$A=L\times W$$.

Resolución paso a paso:

1. Usamos el teorema de Pitágoras:
   $$d^{2}=L^{2}+W^{2}$$
   $$9878 = 362 + W^{2}$$
2. Despejamos el ancho.
   $$W^{2}=9878-362=9516$$
   $$W=\sqrt{9516}\;\text{m}$$
3. Calculamos el área.
   $$A=L\cdot W=\sqrt{362}\;\text{m}\;\times\sqrt{9516}\;\text{m}=\sqrt{362\times9516}\;\text{m}^2$$
   $$A=\sqrt{3\,444\,792}\;\text{m}^2\approx1855\;\text{m}^2$$

Conclusión/Respuesta final:
El área exacta es $$A=\sqrt{3\,444\,792}\;\text{m}^2$$, que numéricamente es aproximadamente 1 855 m².

• Para saber dónde una función crece o decrece, encuentra su derivada y analiza su signo.
• Punto crítico: donde la derivada se anula o no existe.
• En una parábola de la forma $$y=ax^{2}+b$$ con $$a>0$$, el vértice es mínimo, por lo que decrece a la izquierda del vértice y crece a la derecha.

Análisis del problema:
Se trata de la función cuadrática $$y=f(x)=x^{2}+2$$. Debemos indicar dónde la función aumenta (crece) y dónde disminuye (decrece).

Resolución paso a paso:

1. Calculamos la derivada para hallar la pendiente.
   $$f'(x)=2x$$
2. Determinamos el punto crítico.
   $$f'(x)=0\Rightarrow2x=0\Rightarrow x=0$$
3. Estudiamos el signo de la derivada.
   
   • Si $$x<0$$, entonces $$f'(x)=2x<0$$ ⇒ la función decrece.
   • Si $$x>0$$, entonces $$f'(x)=2x>0$$ ⇒ la función crece.

Conclusión/Respuesta final:
• Intervalo de decrecimiento: $$(-\infty,0)$$
• Intervalo de crecimiento: $$(0,\infty)$$

• Recuerda la definición de implicación: $$p\rightarrow q$$ es falsa solo cuando p es verdadera y q es falsa.
• Usa el valor de $$p\rightarrow q$$ para construir la conjunción $$p\land(p\rightarrow q)$$ y, finalmente, la implicación completa.
• Trabaja fila por fila para evitar confusiones.

Análisis del problema:
Debemos completar la tabla de verdad para dos conectores:
1. $$p\rightarrow q$$
2. $$(p\land(p\rightarrow q))\rightarrow p$$

Resolución paso a paso:

Conclusión/Respuesta final:
La columna $$(p\land(p\rightarrow q))\rightarrow p$$ resulta siempre verdadera; por lo tanto, la proposición es una tautología.