Página 45 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Recuerda que:

• El complemento de un conjunto A en el universo U se obtiene restando los elementos de A a U.
• Para aplicar la ley de De Morgan, identifica primero si necesitas la intersección o la unión dentro del paréntesis.
• Anota cada paso con claridad: calcula intersección o unión, luego el complemento, y finalmente compara con la otra expresión.

Fórmula guía:
$$(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$$

Análisis del problema: La segunda ley de De Morgan establece que el complemento de la intersección de dos conjuntos es igual a la unión de los complementos de cada conjunto, es decir:

$$(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$$

Resolución paso a paso:

1. Encontrar la intersección A ∩ B
   A ∩ B = {a, d, e, k}
2. Calcular el complemento de la intersección
   U \ (A ∩ B) = {b, c, f, g, h, j, l}
3. Calcular los complementos individuales
   A^c = U \ A = {b, c, f, g, l}
   B^c = U \ B = {c, f, h, j}
4. Unir los complementos
   A^c ∪ B^c = {b, c, f, g, h, j, l}
5. Comparar resultados
   (A ∩ B)^c = {b, c, f, g, h, j, l}
   A^c ∪ B^c = {b, c, f, g, h, j, l}

Conclusión: Como ambos resultados son idénticos, se verifica la segunda ley de De Morgan para los conjuntos dados.

Sigue esta estrategia:

1. Escribe explícitamente la unión de A y B.
2. Resta los elementos de esa unión al universo U para obtener el complemento.
3. Comparte y reutiliza cálculos de complementos individuales para ahorrar tiempo.

$$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$$ es la herramienta clave.

Análisis del problema: La primera ley de De Morgan afirma que el complemento de la unión de dos conjuntos es igual a la intersección de sus complementos:

$$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$$

Resolución paso a paso:

1. Calcular la unión A ∪ B
   A ∪ B = {a, b, d, e, g, h, j, k, l}
2. Complemento de la unión
   U \ (A ∪ B) = {c, f}
3. Usar los complementos ya hallados
   A^c = {b, c, f, g, l}
   B^c = {c, f, h, j}
4. Intersección de complementos
   A^c ∩ B^c = {c, f}

Conclusión: (A ∪ B)^c y A^c ∩ B^c coinciden ({c, f}), confirmando la primera ley de De Morgan.

Reflexiona sobre situaciones cotidianas o académicas en las que necesites unir o separar condiciones. Por ejemplo, al programar, al clasificar datos, o al analizar encuestas.

Posible respuesta: Comprender las leyes de De Morgan me ayuda a simplificar expresiones de conjuntos y a razonar con mayor precisión en temas de lógica, probabilidades y álgebra booleana. Esto es útil para resolver problemas de matemáticas, informática y ciencias en general.

Puedes describir las estrategias que utilizaste: tomar apuntes, hacer bocetos, preguntar dudas, trabajar en grupo o practicar con ejercicios adicionales.

Posible respuesta: Aprendí al seguir los pasos de resolución, hacer los diagramas de Venn mentalmente y comprobar los resultados con los ejemplos del libro. Practicar los ejercicios y comparar soluciones reforzó mi comprensión.

Identifica la parte exacta que te resultó compleja (símbolos, pasos, conceptos) y piensa en técnicas para superarla: usar tarjetas de memoria, diagramas de Venn, explicarle a un compañero, etc.

Posible respuesta: Lo más difícil fue recordar la dirección de cada ley (cuándo se usa la unión o la intersección en el complemento) y no confundir los símbolos.

Resume en una o dos frases los conceptos clave que ahora dominas. Esto refuerza tu memoria a largo plazo.

Posible respuesta: Aprendí a aplicar y verificar las dos leyes de De Morgan, a calcular complementos, uniones e intersecciones de conjuntos, y a comprobar la igualdad de expresiones mediante ejemplos concretos.