Página 44 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Recuerda que el complemento de un conjunto S se define como:

$$S' = \{x \in U \; | \; x \notin S\}$$

Si S no tiene elementos (es vacío), ninguno de los elementos de U está en S, por lo que todos califican para estar en S'.

Análisis: El complemento de un conjunto S, denotado S', contiene todos los elementos del universo U que no pertenecen a S.

Resolución:
Si el conjunto es el vacío, \(\varnothing\), entonces no posee elementos. Por lo tanto, $$\varnothing' = U$$, porque todos los elementos del universo están fuera de un conjunto sin elementos.

Conclusión:
El complemento de un conjunto vacío es el universo de referencia $$U$$.

Revisa las definiciones clave:

• Complemento: $$S' = U - S$$
• Unión: elementos que están en A o en B.
• Intersección: elementos que están simultáneamente en ambos conjuntos.

Pasos sugeridos:

1. Lista el universo U para no olvidar ningún elemento.
2. Escribe todos los elementos de B y táchalos en U; lo que queda será B'.
3. Ubica A' (ya proporcionado) y cruza con B' para hallar A' ∩ B'.
4. Une A y B para formar A ∪ B y, al igual que antes, resta a U para encontrar el complemento.
5. Compara los resultados y constata que coinciden, validando la ley de De Morgan.

Uso de la ley de De Morgan:
$$(A\cup B)' = A' \cap B'$$

Datos
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
A = {1,3,4,7,9,11}
B = {1,2,5,7,9,11,12}
A' = {2,5,6,8,10,12}

Paso 1: Calcular B'
$$B' = U - B$$
Elementos en U que no están en B: {3,4,6,8,10}.
Resultado: B' = {3,4,6,8,10}

Paso 2: Calcular A' ∩ B'
$$A' \cap B'$$
Coincidencias entre A' = {2,5,6,8,10,12} y B' = {3,4,6,8,10}: {6,8,10}.
Resultado: A' ∩ B' = {6,8,10}

Paso 3: Calcular (A ∪ B)'
Primero, $$A \cup B = \{1,2,3,4,5,7,9,11,12\}$$
Luego, su complemento:
$$(A\cup B)' = U - (A\cup B) = \{6,8,10\}$$

Verificación de la ley de De Morgan
La segunda ley establece $$(A\cup B)' = A' \cap B'$$.
Ambos resultados son {6,8,10}. ¡Ley comprobada!

Respuestas finales
B' = {3,4,6,8,10}
A' ∩ B' = {6,8,10}
(A ∪ B)' = {6,8,10}