Página 6 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Repasa las definiciones precisas:

• Irracional: No puede expresarse como fracción de enteros y su decimal es infinito-no periódico.
• Trascendente: No es raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros.

Piensa en la relación de inclusión entre conjuntos (conjuntos dentro de conjuntos) y en ejemplos conocidos como $$\pi$$ y $$e$$.

Análisis de la pregunta: Se solicita explicar cómo se relacionan dos conjuntos numéricos: los irracionales y los trascendentes.

Resolución paso a paso:

1. Recordemos que un número irracional es aquel que no puede expresarse como fracción de dos enteros y su representación decimal es infinita y no periódica.
2. Un número trascendente es aquel que no es raíz de ninguna ecuación polinómica con coeficientes enteros (por lo tanto es irracional, pero posee una propiedad extra).
3. Ejemplos famosos de números trascendentes son $$\pi$$ y $$e$$.

Conclusión / Respuesta final: Todo número trascendente es necesariamente irracional; sin embargo, no todos los números irracionales son trascendentes, porque algunos irracionales (p. ej. $$\sqrt{2}$$) sí son raíces de ecuaciones polinómicas y, por tanto, son algebraicos.

Recuerda que π es un número irracional y trascendente. Para la mayoría de cálculos escolares puedes usar 3,14 o 22/7 como aproximaciones sencillas. Si necesitas más precisión, amplía los decimales: 3,141592…

Análisis de la pregunta: Se requiere dar el valor aproximado de la constante π.

Resolución paso a paso:

1. π representa la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
2. Su valor decimal aproximado más usado en secundaria es 3,1416.

Conclusión / Respuesta final: π ≈ 3,1416.

Para encontrar irracionales:

• Toma la raíz cuadrada de un número que no sea un cuadrado perfecto (ej.: 2, 3, 5, 7, 10…).
• Recuerda las constantes matemáticas comunes: $$\pi$$, $$e$$, $$\phi$$.
• Un decimal infinito y sin patrón repetitivo, como 3,45938…, también es irracional.

Análisis del ejercicio: Debes listar números irracionales distintos al ejemplo mostrado ($$\sqrt{346}$$ y 3,45938…).

Resolución paso a paso:

1. Identifica raíces cuadradas de números que no sean cuadrados perfectos.
2. Puedes incluir constantes famosas y decimales no periódicos.

Ejemplos propuestos:

• $$\sqrt{2}$$
• $$\sqrt{5}$$
• $$\pi$$
• $$e$$
• $$\phi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$$

Conclusión / Respuesta final: Cualquier conjunto semejante con números no fraccionarios exactos ni periódicos será válido. Por ejemplo: √2, √5, π, e, φ.

Para obtener los valores:

• Usa una calculadora científica para $$\phi = (1+\sqrt{5})/2$$.
• π y e son constantes pre-almacenadas en la mayoría de calculadoras (key π, key e).
• Redondea a 4 o 5 decimales si tu profesor no indica mayor precisión.

Análisis del ejercicio: Se pide dar el valor decimal aproximado de tres constantes irracionales.

Resolución paso a paso:

1. Número áureo (φ):
   $$\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$
   Calculando:
   $$\sqrt{5} \approx 2,2360679$$
   $$\phi \approx \frac{1+2,2360679}{2} \approx 1,618033988$$
2. π: Valor habitual:
   $$\pi \approx 3,141592654$$
3. Constante de Euler (e):
   $$e \approx 2,718281828$$

Conclusión / Respuesta final:

• φ ≈ 1,6180
• π ≈ 3,1416
• e ≈ 2,7183