Página 62 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Recuerda que pagar el 20 % menos del total implica haber cubierto el 80 %.
Plantea la proporción:
$$\text{pagado}=0{,}80\times P$$ y despeja $$P$$.

Análisis del problema: Se conoce el valor pagado (80 % del total) y se quiere el precio total.

Resolución paso a paso:

1. Sea $$P$$ el precio total del terreno.
2. Si aún falta el 20 % por pagar, entonces ya se ha cancelado el 80 %:
   $$0{,}80\,P = 4\,300$$
3. Despejamos $$P$$:
   $$P = \frac{4\,300}{0{,}80}=5\,375$$

Conclusión: El terreno costó $ 5 375 en total.

Al ser quintillizos, las edades son iguales. Divide la suma total de edades entre 5 para obtener la edad individual.

Análisis del problema: Los cinco hijos nacieron al mismo tiempo, por lo que tienen la misma edad.

Resolución paso a paso:

1. Sea $$x$$ la edad actual de cada hijo.
2. La suma de las edades es 5 veces esa edad:
   $$5x = 75$$
3. Despejamos $$x$$:
   $$x = \frac{75}{5}=15$$
4. Edad actual de Pamela (dato adicional) sería 25 años + 15 años = 40 años.

Conclusión: Cada hijo tiene 15 años.

1. Plantea una variable para la edad desconocida.
2. Calcula los años que pasarán hasta que ambos cumplan la condición.
3. Expresa sus edades en ese momento y arma la ecuación $$\text{suma}=63$$.

Análisis del problema: Se relacionan las edades actual y futura de dos personas.

Resolución paso a paso:

1. Sea $$M$$ la edad que yo tengo actualmente.
2. Faltan $$M-14$$ años para que tú (actualmente 14) tengas esa edad.
3. En ese momento, mi edad será
   $$M+(M-14)=2M-14$$
4. La suma futura vale 63:
   $$M+(2M-14)=63$$
5. Simplificamos:
   $$3M-14=63\;\Rightarrow\;3M=77\;\Rightarrow\;M=\frac{77}{3}\approx25{,}67$$

Conclusión: Tengo aproximadamente 25 años y 8 meses (≈ 25,67 años).

1. Plantea claramente la desigualdad.
2. Elimina denominadores multiplicando por el mínimo común múltiplo.
3. Recuerda que el resultado debe coexistir con la condición mayor que 100.

Análisis del problema: Se trata de resolver una desigualdad y contar los enteros que cumplen dos condiciones.

Resolución paso a paso:

1. Sea $$n$$ el número entero.
2. Condiciones:
   a) $$n>100$$
   b) $$\dfrac{n}{5}+17\ge\dfrac{n}{3}-1$$
3. Resolvemos la desigualdad b):
   $$\frac{n}{5}+17\ge\frac{n}{3}-1$$
   Multiplicamos por 15:
   $$3n+255\ge5n-15$$
   $$270\ge2n$$
   $$n\le135$$
4. Unimos condiciones:
   $$100<n\le135$$
5. Los enteros van de 101 a 135 inclusive.
   Cantidad: $$135-100=35$$.

Conclusión: Existen 35 números enteros que cumplen las condiciones.

1. Escribe cada enunciado como desigualdad.
2. Resuelve cada una de forma independiente.
3. La solución final es la intersección de los intervalos resultantes.

Análisis del problema: Se plantean dos desigualdades que limitan la edad de Mauricio.

Resolución paso a paso:

1. Sea $$m$$ la edad de Mauricio.
2. Primera condición:
   $$\frac{3m}{4}-1<35$$
   ⇒ $$\frac{3m}{4}<36$$
   ⇒ $$3m<144$$
   ⇒ $$m<48$$
3. Segunda condición:
   $$4m+8>56$$
   ⇒ $$4m>48$$
   ⇒ $$m>12$$
4. Ambas deben cumplirse simultáneamente:
   $$12<m<48$$

Conclusión: La edad de Mauricio puede ser cualquier entero entre 13 y 47 años (inclusive).

1. Convierte las frases «tres cuartas partes» y «quinta parte del doble» a fracciones.
2. Multiplica toda la desigualdad por el m.c.m. de los denominadores (en este caso 20) para trabajar sin fracciones.
3. Al final, recuerda escoger el mayor entero positivo que cumpla lo obtenido.

Análisis del problema: Se debe traducir la condición verbal a una desigualdad y encontrar el mayor entero que la satisfaga.

Resolución paso a paso:

1. Sea $$x$$ el número buscado ($$x\in\mathbb Z^+$$).
2. “Aumentado en sus tres cuartas partes”:
   $$x+\frac34x=\frac74x$$
3. “La quinta parte del doble del número aumentado en 3” se interpreta como:
   $$\frac{2x}{5}+3$$
4. Planteamos la desigualdad:
   $$\frac74x\le\frac{2x}{5}+3$$
5. Multiplicamos por 20 para eliminar denominadores:
   $$20\left(\frac74x\right)\le20\left(\frac{2x}{5}+3\right)\;\Rightarrow\;35x\le8x+60$$
6. Restamos $$8x$$ a ambos lados:
   $$27x\le60$$
7. Despejamos $$x$$:
   $$x\le\frac{60}{27}=\frac{20}{9}\approx2{,}22$$
8. El mayor entero positivo que cumple es $$x=2$$.

Conclusión: El número buscado es 2.