Página 64 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Pista para formular tu propio problema

• Piensa en una situación de ventas donde un valor fijo se sume a un valor proporcional al número de artículos.
• Identifica la incógnita ($$N$$) como la cantidad de artículos/ventas.
• Usa la estructura: “ganancia total” = “ganancia por unidad” × $$N$$ + “bono”.

Pista para resolver la ecuación

• Lleva todos los términos con $$N$$ a un lado.
• Factoriza o simplifica hasta obtener $$N = \text{número}$$.
• Reemplaza la solución en la ecuación original para comprobar.

Análisis del problema
Se debe:

1. Inventar una situación (contexto de ventas) cuya ecuación sea $$100N=N+2\;475$$.
2. Resolver la ecuación para hallar $$N$$.
3. Verificar que la solución satisface la ecuación y la historia creada.

Ejemplo de problema
“Un representante comercial recibe una comisión de 100 USD por cada computadora vendida. Además, la empresa le otorga un bono fijo de 2 475 USD al cierre del mes. Si el total ganado en el mes (comisión + bono) es la misma cantidad que resultaría de multiplicar el número de computadoras vendidas ($$N$$) por 100 USD, ¿cuántas computadoras vendió?”

Resolución paso a paso

1. Planteo de la ecuación (ya está dada):
   $$100N = N + 2\;475$$
2. Resto $$N$$ a ambos lados:
   $$100N - N = 2\;475$$
   $$99N = 2\;475$$
3. Divido entre 99:
   $$N = \frac{2\;475}{99}$$
   $$N = 25$$

Verificación
Si $$N=25$$, entonces:
$$100(25)=2\;500$$
y
$$25+2\;475=2\;500$$. Ambos lados son iguales; la solución es correcta.

Conclusión
El representante vendió 25 computadoras.

Pistas para crear tu propia historia

• Asocia $$x$$ con la edad de una persona.
• Observa los coeficientes: 2, 3 y 5 multiplican a $$x$$. Úsalos para describir relaciones como "el doble de la edad", "el triple de la edad", etc.
• Las fracciones indican divisiones: “la quinta parte”, “la décima parte”, “la tercera parte”.
• La desigualdad “≥” puede traducirse como “al menos” o “como mínimo”.

Pistas para resolver la inecuación

• Encuentra el mínimo común múltiplo de los denominadores para eliminar fracciones.
• Recuerda que al multiplicar/dividir por un número negativo, el sentido de la desigualdad cambia.
• Presenta el resultado en forma de intervalo o usando el símbolo “≤”.

$$\frac{a}{b}\ge\frac{c}{d}\;\Longrightarrow\;\text{Multiplica por }\operatorname{mcm}(b,d)\text{ para despejar fracciones}.$$

Análisis del problema
Se pide:

1. Crear una historia relacionada con edades cuya desigualdad sea
   $$\frac{2x-1}{5}-\frac{3x-13}{10}\ge\frac{5x+1}{3}$$.
2. Resolver la inecuación para encontrar los valores posibles de $$x$$.
3. Comprobar que la solución cumple la situación inventada.

Ejemplo de problema
“En una familia, la quinta parte de dos veces la edad de Ana menos 1, disminuida en la décima parte de tres veces su edad menos 13, es al menos igual a la tercera parte de cinco veces su edad más 1. ¿Qué valores puede tomar la edad de Ana ($$x$$) para que la afirmación sea verdadera?”

Resolución paso a paso

1. Partimos de la inecuación:
   $$\frac{2x-1}{5}-\frac{3x-13}{10}\ge\frac{5x+1}{3}$$
2. Llevamos ambos términos de la izquierda al mismo denominador (10):
   $$\frac{4x-2-(3x-13)}{10}\ge\frac{5x+1}{3}$$
   $$\frac{x+11}{10}\ge\frac{5x+1}{3}$$
3. Multiplicamos por el mínimo común múltiplo (30) para eliminar denominadores:
   $$30\left(\frac{x+11}{10}\right)\ge30\left(\frac{5x+1}{3}\right)$$
   $$3(x+11)\ge10(5x+1)$$
4. Distribuimos:
   $$3x+33\ge50x+10$$
5. Restamos $$50x$$ en ambos lados:
   $$3x-50x\ge10-33$$
   $$-47x\ge-23$$
6. Dividimos entre -47 (al dividir por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido):
   $$x\le\frac{-23}{-47}$$
   $$x\le\frac{23}{47}\approx0{,}489$$

Conclusión
Los valores de $$x$$ que satisfacen la inecuación son todos los números reales menores o iguales a 23/47. Si se interpreta $$x$$ como edad en años completos, no existe una edad entera positiva que cumpla la condición; habría que revisar los parámetros del enunciado si se necesita un resultado viable para edades.