Página 65 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Pista: Recuerda que:

• La propiedad asociativa solo es válida para suma y multiplicación, no para resta ni división.
• Al resolver una expresión sin paréntesis debes seguir la jerarquía de operaciones: primero multiplicaciones y divisiones, luego sumas y restas.
• Si quieres alterar ese orden, debes usar paréntesis para indicar la nueva agrupación.

Revisa la operación paso a paso aplicando esas reglas y compara con la forma en que se obtuvo \(\dfrac{10}{11}\).

Análisis del problema: La operación se presenta como
$$\frac{3}{2}-2\div\frac{1}{5}-\frac{3}{4}=\frac{10}{11}$$
y se observa que el resultado no coincide con el calculado siguiendo el orden de las operaciones.

Resolución paso a paso:

1. Jerarquía de operaciones: Primero se realizan divisiones y multiplicaciones, luego sumas y restas.
   Aplicando esta jerarquía:
   • $$2\div\frac{1}{5}=2\cdot5=10$$
   • La expresión queda $$\frac{3}{2}-10-\frac{3}{4}$$, cuyo valor es $$-\frac{37}{4}\,(-9{,}25)$$.
2. El resultado planteado en el libro, $$\frac{10}{11}$$, solo se obtiene si se cambia la agrupación de las operaciones realizando primero las sustracciones y luego la división:
   $$\Bigl(\frac{3}{2}-2\Bigr)\div\Bigl(\frac{1}{5}-\frac{3}{4}\Bigr)$$.
3. Para llegar a ese valor se “asoció” la resta antes de la división, lo cual viola la jerarquía de operaciones y atribuye indebidamente la propiedad asociativa a la resta y la división (operaciones que no son asociativas).

Conclusión/Respuesta final: La propiedad mal empleada es la propiedad asociativa (o, equivalentemente, no se respetó la jerarquía de operaciones), pues se agruparon restas y divisiones de forma incorrecta.

Pista: Observa que el resultado deseado (\(\frac{10}{11}\)) es una fracción, por lo que la operación completa puede interpretarse como un cociente entre dos diferencias.

Pasos sugeridos:

1. Coloca paréntesis para restar primero los números que deben quedar en el numerador.
2. Coloca otro paréntesis para restar los que formarán el denominador.
3. Aplica la regla $$a\div\frac{b}{c}=a\cdot\frac{c}{b}$$ cuando hagas la división entre fracciones.

Verifica tu resultado simplificando la fracción obtenida.

Análisis del problema: Se necesita colocar paréntesis en
$$\frac{3}{2}-2\div\frac{1}{5}-\frac{3}{4}$$
de forma que el valor resultante sea $$\frac{10}{11}$$.

Resolución paso a paso:

1. Intuimos que debe existir una división global entre la resta del numerador y la resta del denominador. Probamos:
   $$\Bigl(\frac{3}{2}-2\Bigr)\div\Bigl(\frac{1}{5}-\frac{3}{4}\Bigr)$$
2. Calculamos cada paréntesis:
   • Numerador: $$\frac{3}{2}-2=\frac{3}{2}-\frac{4}{2}=-\frac{1}{2}$$
   • Denominador: $$\frac{1}{5}-\frac{3}{4}=\frac{4}{20}-\frac{15}{20}=-\frac{11}{20}$$
3. Dividimos:
   $$\left(-\frac{1}{2}\right)\div\left(-\frac{11}{20}\right)=\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{20}{11}\right)=\frac{20}{22}=\frac{10}{11}$$

Conclusión/Respuesta final:
La agrupación correcta es:
$$\boxed{\Bigl(\frac{3}{2}-2\Bigr)\div\Bigl(\frac{1}{5}-\frac{3}{4}\Bigr)=\frac{10}{11}}$$