Página 66 - Libro de Matemática de Décimo Grado
Problemas con números enteros, racionales e irracionales
Resolución Página 66 - Libro de Matemática de Décimo Grado
Datos para la resolución:
Pista:
- Recuerda que cuando todos los valores son positivos puedes comparar dos números irracionales elevándolos al cuadrado; la relación de desigualdad se mantiene.
- Para el gráfico, convierte las raíces a decimales aproximados (dos o tres cifras) para ubicar los puntos con mayor precisión.
- Ayuda visual: marca primero números enteros cercanos (5, 6, 7) y luego coloca las raíces donde correspondan.
- ¿No quieres trabajar con decimales? Basta con notar que 5²=25 y 7²=49: por lógica, $$\sqrt{7}$$ está entre 2 y 3; $$\sqrt{5}$$ también, pero el factor que multiplica a cada raíz (2 y 3) hace crecer más al segundo número.
Explicación
1. Análisis del problema
Se debe demostrar la desigualdad $$2\sqrt{7}<3\sqrt{5}$$ y luego representar ambos valores en una recta numérica.
2. Resolución paso a paso
- Demostración algebraica sin aproximaciones:
Para evitar redondeos, elevamos al cuadrado ambos términos. Como las raíces son positivas, la relación de desigualdad se mantiene.
$$(2\sqrt{7})^2< (3\sqrt{5})^2$$
$$4\cdot7 < 9\cdot5$$
$$28 < 45$$
La desigualdad es cierta, luego $$2\sqrt{7}<3\sqrt{5}$$. - Verificación numérica (aproximada):
$$\sqrt{7}\approx 2.64575$$, entonces $$2\sqrt{7}\approx 5.2915$$.
$$\sqrt{5}\approx 2.23607$$, entonces $$3\sqrt{5}\approx 6.7082$$.
Se observa que 5.29 < 6.71, lo que confirma la desigualdad. - Gráfico en la recta numérica:
– Dibuja una recta horizontal.
– Señala un punto de referencia (0).
– Ubica aproximadamente 5.29 a la derecha de 0 y márcalo como 2√7.
– Ubica aproximadamente 6.71 aún más a la derecha y márcalo como 3√5.
– Opcional: coloca marcas intermedias (5, 6, 7) para orientar las posiciones.
3. Conclusión/Respuesta final
Al comparar los cuadrados o sus valores aproximados, comprobamos que $$2\sqrt{7}<3\sqrt{5}$$. En la recta numérica, 2√7 se ubica alrededor de 5.29 y 3√5 alrededor de 6.71, confirmando visualmente la desigualdad.
Contenido Página 66 - Libro de Matemática de Décimo Grado
Ejercicio 24
Utilizo regla y compás, compruebo que $$2\sqrt{7} < 3\sqrt{5}$$. Realizo un gráfico en la recta numérica.
[Espacio cuadriculado para el gráfico]
Ejercicio 25
Leo el problema, completo la información faltante y resuelvo.
Un vendedor compra cierto número de quintales de cebolla en $__________ cada uno, y además le regalan 3 por cada __________ quintales que compra, recibiendo al final 527 quintales de cebolla.
¿Cuánto fue la inversión inicial del vendedor? __________
[Espacio cuadriculado para el desarrollo de la solución]
Indago y profundizo
Acerca de la producción de cebolla en nuestro país y porque las ciudades del sur del país traen cebolla del país vecino Perú.