Página 66 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Problemas con números enteros, racionales e irracionales

Cargando Página 66 - Libro de Matemática...

Resolución Página 66 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Pregunta Página 66
Utilizo regla y compás, compruebo que 2√7 < 3√5. Realizo un gráfico en la recta numérica.

Datos para la resolución:

Pista:

  • Recuerda que cuando todos los valores son positivos puedes comparar dos números irracionales elevándolos al cuadrado; la relación de desigualdad se mantiene.
  • Para el gráfico, convierte las raíces a decimales aproximados (dos o tres cifras) para ubicar los puntos con mayor precisión.
  • Ayuda visual: marca primero números enteros cercanos (5, 6, 7) y luego coloca las raíces donde correspondan.
  • ¿No quieres trabajar con decimales? Basta con notar que 5²=25 y 7²=49: por lógica, $$\sqrt{7}$$ está entre 2 y 3; $$\sqrt{5}$$ también, pero el factor que multiplica a cada raíz (2 y 3) hace crecer más al segundo número.

Explicación

1. Análisis del problema
Se debe demostrar la desigualdad $$2\sqrt{7}<3\sqrt{5}$$ y luego representar ambos valores en una recta numérica.

2. Resolución paso a paso

  1. Demostración algebraica sin aproximaciones:
    Para evitar redondeos, elevamos al cuadrado ambos términos. Como las raíces son positivas, la relación de desigualdad se mantiene.
    $$(2\sqrt{7})^2< (3\sqrt{5})^2$$
    $$4\cdot7 < 9\cdot5$$
    $$28 < 45$$
    La desigualdad es cierta, luego $$2\sqrt{7}<3\sqrt{5}$$.
  2. Verificación numérica (aproximada):
    $$\sqrt{7}\approx 2.64575$$, entonces $$2\sqrt{7}\approx 5.2915$$.
    $$\sqrt{5}\approx 2.23607$$, entonces $$3\sqrt{5}\approx 6.7082$$.
    Se observa que 5.29 < 6.71, lo que confirma la desigualdad.
  3. Gráfico en la recta numérica:
    – Dibuja una recta horizontal.
    – Señala un punto de referencia (0).
    – Ubica aproximadamente 5.29 a la derecha de 0 y márcalo como 2√7.
    – Ubica aproximadamente 6.71 aún más a la derecha y márcalo como 3√5.
    – Opcional: coloca marcas intermedias (5, 6, 7) para orientar las posiciones.

3. Conclusión/Respuesta final
Al comparar los cuadrados o sus valores aproximados, comprobamos que $$2\sqrt{7}<3\sqrt{5}$$. En la recta numérica, 2√7 se ubica alrededor de 5.29 y 3√5 alrededor de 6.71, confirmando visualmente la desigualdad.

Contenido Página 66 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Ejercicio 24

Utilizo regla y compás, compruebo que $$2\sqrt{7} < 3\sqrt{5}$$. Realizo un gráfico en la recta numérica.

[Espacio cuadriculado para el gráfico]

Ejercicio 25

Leo el problema, completo la información faltante y resuelvo.

Un vendedor compra cierto número de quintales de cebolla en $__________ cada uno, y además le regalan 3 por cada __________ quintales que compra, recibiendo al final 527 quintales de cebolla.

¿Cuánto fue la inversión inicial del vendedor? __________

[Espacio cuadriculado para el desarrollo de la solución]

Indago y profundizo

Acerca de la producción de cebolla en nuestro país y porque las ciudades del sur del país traen cebolla del país vecino Perú.