Página 66 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Pista:

• Recuerda que cuando todos los valores son positivos puedes comparar dos números irracionales elevándolos al cuadrado; la relación de desigualdad se mantiene.
• Para el gráfico, convierte las raíces a decimales aproximados (dos o tres cifras) para ubicar los puntos con mayor precisión.
• Ayuda visual: marca primero números enteros cercanos (5, 6, 7) y luego coloca las raíces donde correspondan.
• ¿No quieres trabajar con decimales? Basta con notar que 5²=25 y 7²=49: por lógica, $$\sqrt{7}$$ está entre 2 y 3; $$\sqrt{5}$$ también, pero el factor que multiplica a cada raíz (2 y 3) hace crecer más al segundo número.

1. Análisis del problema
Se debe demostrar la desigualdad $$2\sqrt{7}<3\sqrt{5}$$ y luego representar ambos valores en una recta numérica.

2. Resolución paso a paso

1. Demostración algebraica sin aproximaciones:
   Para evitar redondeos, elevamos al cuadrado ambos términos. Como las raíces son positivas, la relación de desigualdad se mantiene.
   $$(2\sqrt{7})^2< (3\sqrt{5})^2$$
   $$4\cdot7 < 9\cdot5$$
   $$28 < 45$$
   La desigualdad es cierta, luego $$2\sqrt{7}<3\sqrt{5}$$.
2. Verificación numérica (aproximada):
   $$\sqrt{7}\approx 2.64575$$, entonces $$2\sqrt{7}\approx 5.2915$$.
   $$\sqrt{5}\approx 2.23607$$, entonces $$3\sqrt{5}\approx 6.7082$$.
   Se observa que 5.29 < 6.71, lo que confirma la desigualdad.
3. Gráfico en la recta numérica:
   – Dibuja una recta horizontal.
   – Señala un punto de referencia (0).
   – Ubica aproximadamente 5.29 a la derecha de 0 y márcalo como 2√7.
   – Ubica aproximadamente 6.71 aún más a la derecha y márcalo como 3√5.
   – Opcional: coloca marcas intermedias (5, 6, 7) para orientar las posiciones.

3. Conclusión/Respuesta final
Al comparar los cuadrados o sus valores aproximados, comprobamos que $$2\sqrt{7}<3\sqrt{5}$$. En la recta numérica, 2√7 se ubica alrededor de 5.29 y 3√5 alrededor de 6.71, confirmando visualmente la desigualdad.