Página 69 - Libro de Matemática de Décimo Grado

1. Evalúa primero el polinomio en cada valor dado (x=2 y x=4).
2. Sustituye cuidadosamente los resultados en la combinación lineal indicada.
3. Realiza las operaciones aritméticas paso a paso para evitar errores.

Recuerda que $$P(x)=8x^4-4x^3-4x$$ proviene de simplificar la expresión anidada mostrada en el recuadro amarillo.

Análisis del problema: Necesitamos evaluar el polinomio $$P(x)=8x^4-4x^3-4x$$ en dos puntos (x=2 y x=4) y luego sustituir esos resultados en la expresión $$2P(2)-\tfrac12 P(4).$$

Resolución paso a paso:

1. Evaluamos P(2):
   $$P(2)=8(2)^4-4(2)^3-4(2)=8\cdot16-4\cdot8-8=128-32-8=88.$$
2. Evaluamos P(4):
   $$P(4)=8(4)^4-4(4)^3-4(4)=8\cdot256-4\cdot64-16=2048-256-16=1776.$$
3. Sustituimos en la expresión solicitada:
   $$2P(2)-\tfrac12 P(4)=2(88)-\tfrac12(1776)=176-888=-712.$$

Conclusión / Respuesta final:
El valor de $$2P(2)-\tfrac12 P(4)$$ es -712.

1. Evalúa ambos polinomios en los puntos requeridos (P(3) y Q(1)).
2. Mantén fracciones y radicales hasta el final para evitar redondeos prematuros.
3. Sustituye los valores en el lado izquierdo y lado derecho de la desigualdad.
4. Compara los resultados numéricos o simbólicos.

Si necesitas recordar cómo comparar cantidades con radicales, aproxima $$\sqrt3 \approx 1.732$$ solo al final.

Análisis del problema: Debemos sustituir los valores numéricos de $$P(3)$$ y $$Q(1)$$ en la desigualdad y verificar si se cumple.

Resolución paso a paso:

1. Calcular P(3):
   $$P(3)=8(3)^4-4(3)^3-4(3)=8\cdot81-4\cdot27-12=648-108-12=528.$$
2. Calcular Q(1). Dado
   $$Q(x)=\tfrac12 x-\tfrac{\sqrt3}{2}\,x(x-6),$$ sustituimos x=1:
   $$Q(1)=\tfrac12-\tfrac{\sqrt3}{2}(1-6)=\tfrac12+\tfrac{5\sqrt3}{2}=\tfrac{1+5\sqrt3}{2}.$$
3. Sustituir en la expresión:
   
   • Lado izquierdo (LI):
     $$\tfrac75+\tfrac72\,Q(1)=\tfrac75+\tfrac72\left(\tfrac{1+5\sqrt3}{2}\right)=\tfrac75+\tfrac7{4}(1+5\sqrt3).$$
     Numéricamente, LI ≈ 18.305.
   • Lado derecho (LD):
     $$P(3)-Q(1)=528-\tfrac{1+5\sqrt3}{2}.$$
     Numéricamente, LD ≈ 523.17.
4. Comparación:
   18.3 ≥ 523.17 es falso.

Conclusión / Respuesta final:
La desigualdad propuesta no es verdadera; no se cumple con los valores calculados.

1. Identifica el término de mayor exponente en cada polinomio; ese exponente es el grado.
2. Si el polinomio no está completamente desarrollado, expande o simplifica primero.
3. Para recordar: grado(axⁿ + …) = n, siempre que a ≠ 0.

Análisis del problema: Se debe comparar el grado (mayor exponente de x) de los polinomios $$P(x)=8x^4-4x^3-4x$$ y $$Q(x)=\tfrac12 x-\tfrac{\sqrt3}{2}x(x-6).$$

Resolución paso a paso:

1. Grado de P(x): El término de mayor exponente es $$8x^4$$; por tanto, grado(P) = 4.
2. Simplificar Q(x):
   $$Q(x)=\tfrac12 x-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigl(x^2-6x\bigr)= -\tfrac{\sqrt3}{2}x^2+\bigl(\tfrac12+3\sqrt3\bigr)x.$$
   El término de mayor exponente es $$-\tfrac{\sqrt3}{2}x^2$$; por tanto, grado(Q) = 2.
3. Comparación:
   4 < 2 es falso.

Conclusión / Respuesta final:
La afirmación es incorrecta; el grado de P(x) (4) es mayor que el grado de Q(x) (2).