Página 70 - Libro de Matemática de Décimo Grado

1. Convierte cada número irracional a un decimal con 3-4 cifras decimales para tener una idea clara de su posición.
2. Recuerda que todo número negativo se coloca a la izquierda del 0 y los positivos a la derecha.
3. Usa una escala conveniente (por ejemplo, 1 cm = 1 unidad) y marca primero los valores de referencia (−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4).
4. Entre dos enteros cualesquiera (por ejemplo, 0 y 1) ubica los decimales colocando pequeñas subdivisiones.
5. Verifica el orden creciente antes de graficar para evitar errores de ubicación.

Análisis de la actividad: Se pide representar cada número de los dos conjuntos sobre una misma recta numérica, indicando su posición aproximada.

Resolución paso a paso:

1. Calculamos un valor decimal aproximado para cada elemento.
   • π ≈ 3,1416
   • e ≈ 2,7183
   • −√3 ≈ −1,7321
   • √2 − 1 ≈ 0,4142
   • √2/2 = $$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$ ≈ 0,7071
   • (√2 − 2)/2 ≈ −0,2929
2. Ordenamos los valores de menor a mayor para ubicarlos correctamente:
   $$-\sqrt{3}\;(-1{,}7321) < \dfrac{\sqrt{2}-2}{2}\;(-0{,}2929) < \sqrt{2}-1\;(0{,}4142) < \dfrac{\sqrt{2}}{2}\;(0{,}7071) < e\;(2{,}7183) < \pi\;(3{,}1416)$$
3. Dibujamos una recta horizontal, marcamos un punto de referencia (0) y señalamos cada número respetando las distancias aproximadas.

Conclusión / Representación final: La recta numérica queda con los puntos colocados en el siguiente orden de izquierda a derecha:
$$-\sqrt{3}$$, $$\dfrac{\sqrt{2}-2}{2}$$, $$\sqrt{2}-1$$, $$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$, $$e$$, $$\pi$$.

1. Recuerda que al evaluar un polinomio solo sustituyes el valor de x y sigues la jerarquía de operaciones.
2. Para evitar errores, organiza tu trabajo en dos columnas: una para los valores de P(x) y otra para la operación final.
3. Observa la simetría: cuando la función depende de x², los valores en x y −x suelen coincidir.

Análisis del problema: Se debe evaluar el polinomio P(x) = 2x² − 1 en cuatro valores y luego operar las diferencias indicadas.

Resolución paso a paso:

1. Evaluamos la función:
   $$P(1)=2(1)^2-1=2-1=1$$
   $$P(-1)=2(-1)^2-1=2-1=1$$
   $$P(2)=2(2)^2-1=2(4)-1=8-1=7$$
   $$P(-2)=2(-2)^2-1=2(4)-1=8-1=7$$
2. Sustituimos en la expresión de D:
   $$D = 1 - 1 + 7 - 7$$
3. Operamos:
   $$D = 0$$

Conclusión / Respuesta final: D = 0.

1. Localiza cada valor de P(x) antes de sustituir en la expresión completa.
2. Aprovecha que cualquier número elevado a la potencia 1 se mantiene igual.
3. Ten presente la jerarquía de operaciones: potencias → multiplicación/división → suma/resta.
4. Revisa los signos, especialmente si P(0) resulta negativo.

Análisis del problema: Se trata de evaluar la función en varios puntos, usar potencias y una división, y finalmente sumar.

Resolución paso a paso:

1. Evaluaciones necesarias:
   $$P(2)=7$$, $$P(1)=1$$, $$P(0)=2(0)^2-1=-1$$, $$P(-2)=7$$, $$P(-1)=1$$
2. Calculamos las potencias:
   Puesto que $$P(1)=1$$, tendremos
   $$P(2)^{P(1)} = 7^{1} = 7$$
   $$P(0)^{P(1)} = (-1)^{1} = -1$$
3. Multiplicamos ambos resultados:
   $$7 \times (-1) = -7$$
4. Dividimos por $$P(-2)=7$$:
   $$\dfrac{-7}{7} = -1$$
5. Sumamos $$P(-1)=1$$:
   $$E = -1 + 1 = 0$$

Conclusión / Respuesta final: E = 0.

1. Recuerda que componer P(P(x)) significa sustituir toda la expresión de P(x) en lugar de la x de la misma P.
2. Mantén cada nivel claramente separado para evitar errores.
3. Para las potencias cuadráticas, expande usando la identidad $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ o el producto notable correspondiente.
4. Al final, revisa que todos los términos estén ordenados de mayor a menor grado.

Análisis del problema: Se requiere la composición triple de la función cuadrática P(x).

Resolución paso a paso:

1. Primer nivel:
   $$P(x)=2x^{2}-1$$
2. Segundo nivel – P(P(x)):
   $$P(P(x)) = 2\bigl(2x^{2}-1\bigr)^{2}-1$$
   Desarrollamos:
   $$(2x^{2}-1)^{2}=4x^{4}-4x^{2}+1$$
   Multiplicamos por 2 y restamos 1:
   $$P(P(x))=2(4x^{4}-4x^{2}+1)-1=8x^{4}-8x^{2}+1$$
3. Tercer nivel – P(P(P(x))):
   Ahora sustituimos $$y=8x^{4}-8x^{2}+1$$ en P(y):
   $$T(x)=2y^{2}-1=2(8x^{4}-8x^{2}+1)^{2}-1$$
   Calculamos $$y^{2}$$:
   $$(8x^{4}-8x^{2}+1)^{2}=64x^{8}-128x^{6}+80x^{4}-16x^{2}+1$$
   Multiplicamos por 2:
   $$128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+2$$
   Restamos 1:
   $$T(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1$$

Conclusión / Expresión final:
$$\boxed{T(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1}$$