Página 72 - Libro de Matemática de Décimo Grado

1. Pasa todos los términos con x a un lado y los términos constantes al otro.
2. Recuerda que si multiplicas o divides por un número negativo, el sentido de la desigualdad cambia.
3. Finalmente, expresa tu respuesta en forma de intervalo abierto o cerrado según corresponda.

Ejemplo similar:
Si tuvieras 3x − 2 < 10, sumarías 2 a ambos lados y luego dividirías entre 3 para obtener x < 4.

Análisis del problema
Se trata de una inecuación lineal en la variable x. Queremos hallar los valores de x que satisfacen la desigualdad y luego escribir la solución en forma de intervalo.

Resolución paso a paso

1. Distribuimos el -7 en el término -(x+3):
   $$8x + 4 > -7x - 21 - 8$$
2. Simplificamos el término independiente del lado derecho:
   $$8x + 4 > -7x - 29$$
3. Sumamos 7x a ambos lados para reunir las x:
   $$15x + 4 > -29$$
4. Restamos 4 en ambos lados:
   $$15x > -33$$
5. Dividimos entre 15 (número positivo, por lo que la desigualdad se mantiene):
   $$x > -\dfrac{33}{15} = -\dfrac{11}{5}$$

Conclusión / Respuesta final
El intervalo solución es $$(-\dfrac{11}{5},\; \infty)$$.

• Busca un MCD de los denominadores para despejar fracciones rápidamente.
• Cuida el signo de la desigualdad si llegas a multiplicar o dividir por un número negativo.
• Expresa al final tu solución en forma de intervalo abierto o cerrado según el símbolo (<, ≤, >, ≥).

Análisis del problema
Es una inecuación lineal con fracciones. Eliminaremos denominadores para trabajar con números enteros.

Resolución paso a paso

1. Multiplicamos toda la inecuación por 20 (múltiplo común de 4 y 5) para eliminar denominadores:
   $$20\left(x+\frac{5}{4}\right) < 20\left(\frac{4(1-x)}{5}\right)$$
2. Simplificamos:
   $$20x + 25 < 16 - 16x$$
3. Sumamos 16x a ambos lados:
   $$36x + 25 < 16$$
4. Restamos 25 en ambos lados:
   $$36x < -9$$
5. Dividimos entre 36 (positivo):
   $$x < -\dfrac{9}{36} = -\dfrac{1}{4}$$

Conclusión / Respuesta final
El intervalo solución es $$(-\infty,\; -\dfrac{1}{4})$$.

Cuando tengas términos con x a ambos lados, pasa todas las x a un lado y los números al otro.
Recuerda: multiplicar o dividir por números positivos no cambia el símbolo, pero por negativos sí lo invierte.

Análisis del problema
Nuevamente es una inecuación lineal con fracciones. Procederemos a reunir términos y despejar x.

Resolución paso a paso

1. Llevamos todo lo que contiene x al lado derecho o izquierdo. Aquí restamos x en ambos lados:
   $$x - \frac{1}{2} - 6 - x < \frac{7x}{9} - x$$
   Nos queda:
   $$-\frac{13}{2} < -\frac{2x}{9}$$
2. Multiplicamos por -1 (esto invierte la desigualdad):
   $$\frac{13}{2} > \frac{2x}{9}$$
3. Multiplicamos ahora por \(\dfrac{9}{2}\) (positivo, por lo que el sentido se mantiene):
   $$x < \frac{13}{2}\cdot\frac{9}{2} = \frac{117}{4}$$

Conclusión / Respuesta final
El intervalo solución es $$(-\infty,\; \frac{117}{4})$$ (aprox. 29,25).

• Antes de despejar, asegúrate de identificar el dominio (dónde está definida la expresión).
• Multiplica por términos positivos para no invertir la desigualdad.
• Usa factorización o el método de signos para analizar raíces y regiones.
• Comprueba al final que no incluyes valores que hagan cero el denominador.

$$\text{Si }f(x) = 0 \text{ tiene raíces }r_i, \text{evalúa el signo en intervalos entre raíces}.$$

Análisis del problema
Es una inecuación racional no lineal. El dominio excluye x = 0. Multiplicaremos por un término positivo (3x²) para eliminar denominadores sin cambiar el sentido de la desigualdad.

Resolución paso a paso

1. Multiplicamos ambos lados por $$3x^2$$ (positivo para x ≠ 0):
   $$3(x+3)^2 \ge 4x^3$$
2. Llevamos todo al mismo lado:
   $$0 \ge 4x^3 - 3x^2 - 18x - 27$$
3. Factorizamos.
   Probamos raíz x = 3 y divide exactamente:
   $$(x-3)(4x^2+9x+9) \le 0$$
   El cuadrático $$4x^2+9x+9$$ tiene discriminante negativo, por lo que es siempre positivo.
4. Entonces el signo de la expresión depende solo de (x − 3).
   $$(x-3) \le 0 \;\;\Rightarrow\;\; x \le 3$$
5. Consideramos dominio: x ≠ 0.
   Por tanto:
   $$x \in (-\infty,0)\cup(0,3]$$

Conclusión / Respuesta final
El intervalo solución es la unión $$(-\infty,0)\cup(0,3]$$.

Piensa en situaciones reales o académicas donde necesites saber si un valor se encuentra dentro o fuera de cierto rango. Haz una lista de ejemplos cotidianos.

Posible respuesta reflexiva
Puedo aplicar la resolución de inecuaciones cuando analizo rangos de valores en:

• Problemas de economía (por ejemplo, determinar cuándo una utilidad es positiva).
• Física (alcance máximo de un proyectil).
• Programación (condiciones para ejecutar una acción).

Analiza qué ganancia cognitiva o práctica has obtenido: mayor precisión, seguridad al resolver problemas, etc.

Posible respuesta reflexiva
Me ha ayudado a comprender mejor cómo comparar magnitudes y a plantear condiciones que deben cumplirse en diversos contextos matemáticos y reales.

Reflexiona sobre los métodos que te resultaron efectivos (práctica, explicación, videos, tutorías) y anótalos.

Posible respuesta reflexiva
He aprendido resolviendo ejemplos, practicando ejercicios, consultando al docente y discutiendo con mis compañeros. El uso de gráficas de intervalos también me ayudó a visualizar las soluciones.

Haz un resumen de los conceptos claves que dominas ahora y compáralos con lo que desconocías antes de la lección.

Posible respuesta reflexiva
He aprendido a:

• Manipular desigualdades.
• Considerar el dominio al resolver expresiones racionales.
• Expresar resultados como intervalos.